Matemasticas discretas unidad 5 y 6

UNIDAD V. MATE DISCRETAS.
5.1 Conceptos básicos.
PAREJA ORDENADASe dice que una pareja ordenada es un esquema en el que un elemento x de un conjunto estä relacionado con un elemento y de otro conjunto.Una pareja ordenada así definida se escribirá de la siguiente manera: (x, y), donde x pertenece al primer conjunto e y pertenece al segundo conjunto.PRODUCTO CARTESIANOEl poducto cartesiano dedos conjuntos cualesquiera A y B, será un nuevo conjunto, identificado como AxB, y consistirá de un conjunto de parejas ordenadas, (x, y), donde x pertenece al conjunto A e y pertenece al conjunto B.EXPRESIÓN EXTENSIVA DE UN PRODUCTO CARTESIANOSean los conjuntos A y B.Esté A definido como A={a, b, c}Esté B definido como B={m, n, o}El producto cartesiano AxB estará definido como:AxB={(a, m), (a, n),(a, o), (b, m), (b, n), (b, o), (c, m), (c, n), (c, o)}El producto cartesiano BxA estará definido como:BxA={(m, a), (m, b), (m, c), (n, a), (n, b), (n, c), (o, a), (o, b), (o, c)}EXPRESIÓN GRAFICA DE UN PRODUCTO CARTESIANOLas parejas ordenadas representarán PUNTOS COORDENADOS en el plano, tomando como primera coordenada un elemento del primer conjunto, y como segunda coordenada a un elemento delsegundo conjunto, independientemente que sean números u otras entidades. |
5.1.1 Producto cartesiano.
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29 octubre, 2011
Producto cartesiano
Considere dos conjuntos arbitrarios A y B. El conjunto de todas las parejas ordenadas (a, b) en
donde a ∈ A y b ∈ B se llama producto o producto cartesiano de A y B.
La definición de producto cartesianopuede extenderse fácilmente al caso de más de dos
conjuntos.
Se llama producto cartesiano de dos conjuntos A y B y se representa A x B, al conjunto de
pares ordenados (a, b), tales que el primer elemento pertenece al primer conjunto y el segundo
elemento al segundo conjunto. Es decir:
A x B = {(a, b) / a ∈ A, b ∈ B}
El producto cartesiano, en general, no es conmutativo. Es decir: A x B ≠ B x A.Puede ocurrir que los conjuntos A y B sean coincidentes.
EJEMPLO
Si A = {a, b, c} y B = {1, 2, 3, 4}, el producto cartesiano es:
A x B = {(a, 1), (a, 2), (a, 3), (a, 4), (b, 1), (b, 2), (b, 3), (b, 4), (c, 1), (c, 2), (c, 3), (c, 4)}
Se puede representar gráficamente por medio de puntos en un plano, como se muestra a
continuación. Aquí, cada punto P representa una pareja ordenada (a, b) denúmeros reales y
viceversa; la línea vertical a través de P encuentra al eje x en a, y la línea horizontal a través de P
encuentra el eje y en b. A esta representación se le conoce como diagrama cartesiano.

Hay otra manera de visualizar una relación y es a través de una representación gráfica, donde se
destaquen los puntos en el plano que pertenecen a A y los puntos que pertenecen a B. Setrazan
flechas que indican la relación que existe entre cada elemento del conjunto A y su
correspondiente en el conjunto B. A esta representación gráfica se le conoce como un diagrama
de flechas.

5.1.2 Relación binaria.
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29 octubre, 2011
Relación binaria
La relación binaria definida en un conjunto A es un subconjunto del producto cartesiano Ax A.
EJEMPLO
Sea el conjunto A = {x, y, z}. El grafo de la siguiente figura representa una relación binaria
definida en A, puesto que los pares (x, z), (y, x) (y, y) constituyen un subconjunto de A x A.

Se dice que dos elementos a y b están relacionados, y se escribe a R b, “a está relacionado con b
mediante la relación binaria R”, cuando el par ordenado (a, b) pertenece al subconjunto delproducto cartesiano que define la relación.
Si dos elementos a y b no están relacionados mediante R en algún sentido, escribiremos a R b o
b R a o ambas cosas.
Propiedades de una relación binaria
Las principales propiedades que puede presentar una relación binaria R definida en un conjunto A
se indican en la siguiente tabla, junto con sus respectivas condiciones.

5.1.3 Representación de...