Matematica Derivadas

Aplicaciones de las derivadas
Ejercicio nº 1.-

Dada la función f x   e 3 x
abscisa x0  1.

2

3

, escribela ecuaciónde su recta tangente en el punto de

Ejercicio nº 2.O btén la e cuaciónde la recta tangente a la c urv a y 

x 2
e n e l punto de c orte c on el
x 1

eje de absisas.
Ejercicio nº 3.Halla la ecuación de la recta tangente a la curva f (x)  2x2 3x  1,que es paralela a la recta 2x  3y 1 
0.

Ejercicio nº 4.Escribe las ecuaciones de las rectas tangentes a la curva f (x)  4x3  2x  1 que son paralelas a la recta y
 10x  2.
Ejercicio nº 5.-

Halla la ecuaciónde la recta tangente a la curv a y  x 2  3 x  6 en x 0  2.

Ejercicio nº 6.Estudia los intervalos de crecimiento y los máximos y mínimos de la función:
f x  

4 x 12
( x  2)2

Ejercicio nº 7.Halla los intervalos de crecimiento y los máximos y mínimos de la función:
f x  

x 2  2x  2
x 1

Ejercicio nº 8.Estudia el crecimiento y la curvatura de la siguiente función. Halla sus máximos, mínimos y puntos de
inflexión:
f x  

x4 x3

 x2 1
12
9

1

Ejercicio nº 9.Halla los máximos, mínimos y puntos de inflexión de la función:
f(x)  (x  2)2 (x  1)
Di dónde es creciente, decreciente, cóncava y convexa.

Ejercicio nº 10Considera la función:
f (x)  2x3  9x2  12x  1
a) Estudia su crecimiento y halla sus máximos y mínimos.
b) Estudia su curvatura y obtén sus puntos de inflexión.

Ejercicio nº 11La hipotenusa de un triángulo rectángulo mide 1 dm. Hacemos girar el triángulo alrededor de uno de sus
catetos.Determina la longitud de los catetos de forma que el cono engendrado de esta forma tenga
volumen máximo.

Ejercicio nº 12La producción de cierta hortaliza en un invernadero (Q(x) en kg) depende de la temperatura (x en C)
según la expresión: Q(x)  (x  1)2 (32  x)
a) Calcula razonadamente cuál es la temperatura óptima a mantener en el invernadero.
b) ¿Qué producción de hortaliza se obtendría?Ejercicio nº 13Un depósito abierto de latón con base cuadrada y capacidad para 4 000 litros, ¿qué dimensiones debe
tener para que su fabricación sea lo más económica posible?

Ejercicio nº 14Un heladero ha comprobado que, a un precio de 50 céntimos de euro la unidad, vende una media de 200
helados diarios. Por cada céntimo que aumenta el precio, vende dos helados menos al día. Si el coste porunidad es de 40 céntimos, ¿a qué precio de venta es máximo el beneficio diario que obtiene el heladero?
¿Cual será ese beneficio?

Ejercicio nº 15Una huerta tiene actualmente 24 árboles, que producen 600 frutos cada uno. Se calcula que, por cada árbol
adicional plantado, la producción de cada árbol disminuye en 15 frutos. ¿Cuál debe ser el número total de
árboles que debe tener la huertapara que la producción sea máxima? ¿Cuál será esa producción?

2

Soluciones Aplicaciones de las derivadas
Ejercicio nº 1.-

Dada la función f x   e 3 x
abscisa x0  1.

2

3

, escribela ecuaciónde su recta tangente en el punto de

Solución:
 Ordenada en el punto:
f (1)  1
 Pendiente de la recta:

f ' x   e 3 x

2

3

· 6x

f (1)  6
 Ecuación de larecta tangente:
y  1  6 (x  1)  y  6x  5

Ejercicio nº 2.O btén la e cuaciónde la recta tangente a la c urv a y 

x 2
e n e l punto de c orte c on el
x 1

eje de absisas.

Solución:
 Punto de corte con el eje X:
y 0 

x 2
 x  2  0  x  2  P unto 2, 0 
x 1

 Pendiente de la recta:
y' 

x  1 ( x  2) x  1 x  2
3


( x  1)2
( x  1)2
( x  1)2y ' 2  

31

93

 Ecuación de la recta tangente:
y

1
x  2   y  1 x  2
3
3
3

3

Ejercicio nº 3.Halla la ecuación de la recta tangente a la curva f (x)  2x2 3x  1, que es paralela a la recta 2x  3y 1 
0.

Solución:
 Si es paralela a la recta 2x  3y  1  0  y 

y'

2x  1
, tendrá la misma pendiente :
3

2
3

f ' x   4 x  3 ...