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Anexo A

Introducci´n a las Matrices o

A.1.

Definiciones y teor´ b´sicas ıa a

Los elementos de las matrices que aparecen en este curso son n´meros o funciones. Los u designaremos con el apelativo com´n de escalares. u Definici´n A.1 (Matrices) Una matriz A es un ordenamiento regular de escalares (recoro demos, n´meros o funciones): u   a11 a12 . . . a1n  a21 a22 . . . a2n    A= . . .  .  . . am1 am2 . . . amn Si una matriz tiene m filas y n columnas, se dice que su tama˜o es m por n (se escribe n m × n). Una matriz n × n se llama matriz cuadrada de orden n. El t´rmino aij representa el elemento de la i-´sima fila y la j-´sima columna de una matriz e e e A de tama˜o m × n; con ello, una matriz A, m × n, se escribe en la forma A = (aij ) m × n, o n simplemente A = (aij ).Una matriz A, 1 × 1, es s´lo un escalar (un n´mero o una funci´n). o u o 193

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Introducci´n a las Matrices o

Definici´n A.2 (Igualdad de matrices) Dos matrices m × n, A y B, son iguales si o aij = bij para toda i y j. Definici´n A.3 (Matriz columna) Una matriz columna X es cualquier matriz con n filas o y una columna:   x11  x21    X =  .  = (xi1 ) n × 1 .   . xn1 Una matrizcolumna se llama tambi´n vector columna o simplemente vector. e Definici´n A.4 (Producto de matrices por escalares) Si k es un escalar y A una mao triz m × n, el producto de k por A es una nueva matriz que se define de la siguiente manera:   ka11 ka12 . . . ka1n  ka21 ka22 . . . ak2n    kA =  .  = (kaij ) m × n, . . .  .  . kam1 kam2 . . . akmn en donde k es un escalar; es decir, un n´mero ouna funci´n. u o Ejemplo 1. Productos de matrices por escalares    10 −15 2 −3 a) 5  4 −1  =  20 −5  1 6 1 30 6     1 et b) et  −2  =  −2et  4 4et  Es de notar que para toda matriz A, el producto kA es igual al producto Ak, por ejemplo, e−3t 2 5 = 2e−3t 5e−3t = 2 5 e−3t

Definici´n A.5 (Suma de matrices) La suma de dos matrices m × n, A y B, se define o como la matriz A + B = (aij +bij ) m × n En otras palabras, para sumar dos matrices del mismo tama˜o, se suman los elementos n correspondientes.

A.1 Definiciones y teor´ b´sicas ıa a Ejemplo 2. Suma de matrices    2 −1 3 4 7 −8 4 6 yB= 9 3 5  es La suma de A =  0 −6 10 −5 1 −1 2    2+4 −1 + 7 3 + (−8) 6 6 −5 4+3 6 + 5  =  9 7 11  A+B = 0+9 −6 + 1 10 + (−1) −5 + 2 −5 9 −3 Ejemplo 3. Matriz expresada en formade suma de matrices columna  3t2 − 2et La matriz  t2 + 7t  se puede expresar como la suma de tres vectores columna: 5t    

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  2            3t2 − 2et 3t 0 −2et 3 0 −2  t2 + 7t  =  t2  +  7t  +  0  =  1  t2 +  7  t +  0  et 5t 0 5t 0 0 5 0 La diferencia de dos matrices m × n se define en la forma acostumbrada: A − B = A + (−B), en donde −B = (−1)B. Definici´nA.6 (Multiplicaci´n de matrices) Sea A una matriz con m filas y n columo o nas, y B otra con n filas y p columnas. El producto AB se define como la siguiente matriz
n

m × p cuyo elemento en la posici´n (i, j) es o
k=1

aik bkj . Es decir,      b11 b12 . . . b1p b21 b22 . . . b2p . . . . . . bn1 bn2 . . . bnp    = 

   AB =   

a11 a21 . . .

a12 a22

. . . a1n . .. a2n . . .

am1 am2 . . . amn

 a11 b11 + a12 b21 + . . . + a1n b1n . . . a11 b1p + a12 b2p + . . . + a1n bnp =  a21 b11 + a22 b21 + . . . + a2n bn1 . . . a21 b1p + a22 b2p + . . . + a2n bnp  am1 b11 + am2 b21 + . . . + amn bn1 . . . am1 b1p + am2 b2p + . . . + amn bnp
n

=
k=1

aik bkj

(m × p)

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Introducci´n a las Matrices o

Obs´rvese con detenimiento la Definici´nA.6. El producto AB = C s´lo est´ definido e o o a cuando el n´mero de columnas en la matriz A es igual al n´mero de filas en B. El tama˜o u u n del producto se puede determinar con Am×n Bn×p = Cm×p . Se debe observar tambi´n que los elementos de la i-´sima fila de la matriz producto AB e e se forman aplicando la definici´n del producto escalar de la i-´sima fila de A por cada una o e de las columnas...
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