Matematica

Gu´ de L´ ıa ımites y Continuidad.
C´lculo Diferencial. a
L´ ımites. 1. Demuestre usando la definici´n de l´ o ımite, que: a) b) c)
x→1

l´ (3 − x) = 2. ım l´ (2x + 1) = 15. ım l´ (x2 + x) = 12. ım

d) e) f)

x→1

l´ (x2 − x) = 0. ım l´ |x| = 0. ım l´ ım 3−x 9 − 3x 1 = . 3

x→7

x→0

x→3

x→3

2. Demuestre cada una de las siguientes afirmaciones. a) b) c)
x→a

l´ f (x) = L ⇔l´ |f (x) − L| = 0. ım ım
x→a

x→0

l´ f (x) = l´ f (cx), para todo c ∈ R. ım ım
x→o

x→a

l´ |f (x)| = 0 entonces l´ f (x) = 0. ım ım
x→0

3. Determine en cada caso si el l´ ımite dado existe. a) b) c) l´ f (x) , donde f (x) = ım l´ f (x) , donde f (x) = ım x2 si x > a Considere a = 1, −1, 0, 1, 2. x si x ≤ a 2−x si x > a 2 si x ≤ a Considere a = 1, −1, 0, 1, 2. (x − 2)

x→ax→a

x→n

l´ [x], para cada n´mero natural n. ım u

4. Calcule cada uno de los siguientes l´ ımites, cuando exista. 1. l´ ım 2. l´ ım 3. l´ ım 4. l´ ım (n + 1)(n + 2)(n + 3) . Soluci´n L = 1. o n→∞ n3 n + (−1)n . Soluci´n L = 1. o n→∞ n − (−1)n 2n+1 + 3n+1 . Soluci´n L = 3. o n→∞ 2n + 3n x2 − 9 6 . Soluci´n L = 5 . o x→3 x2 − x − 6
´ Miguel Angel Mu˜ oz Jara. nwww.miguelangelmunozjara.wordpress.com

4+x−2 . Soluci´n L = 1 . o 4 x→0 x √ √ x− a 1 6. l´ ım . Soluci´n L = √ . o x→a x−a 2 a √ √ x+h− x 1 7. l´ ım . Soluci´n L = 2√x . o x→0 h √ 2− x−3 1 8. l´ ım . Soluci´n L = − 56 . o x→7 x2 − 49 5. l´ ım 1

√

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: :

√ 3− 5+x √ 9. l´ ım . Soluci´n L = − 1 . o 3 x→4 1 − 5 − x √ √ x+2− 2 1 10. l´ ım . Soluci´n L = 2√2 . o x→0 x 11. l´ ım
x→1

27. l´ √ ım
x→

√ x4− 4 √ .Soluci´n L = 8 2. o 2x− 2 sen(3x) sen(2x) . Soluci´n L = ∞. o (x3 − x2 )2 sen(2x) . Soluci´n L = 2. o x

28. l´ ım 29. l´ ım 30. l´ ım 31. l´ ım 32. l´ ım 33. l´ ım 34. l´ ım

x→0

x3

1 3 − . Soluci´n L = −1. o −1 x−1
3

x→0

12. l´ x ım
x→∞

8+

2 − 2 . Soluci´n L = 1 . o 6 x

√ 1+x−1 13. l´ √ ım 3 . Soluci´n L = 3 . o 2 x→0 1+x−1 √ n 1+x−1 1 . Soluci´n L = . o 14. l´ım x→0 x n 15. l´ ım 16. l´ ım 17. l´ ım 18. l´ ım x100 − 2x + 1 . Soluci´n L = o x→1 x50 − 2x + 1
49 24 .

sen2 (x) . Soluci´n L = 0. o x→0 x tg2 (x) . Soluci´n L = 1. o x→0 x sen(x) sen(x2 − 1) . Soluci´n L = 2. o x→1 x−1 sen(x2 − 1) . Soluci´n L = . o x→1 |x − 1| tg(πx) . Soluci´n L = π. o x→2 x − 2 1 − sen(0,5x) . Soluci´n L = 0. o π−x

sen 5x − sen 3x . Soluci´n L = 2. o x→0 x 1 − cos x. Soluci´n L = 1 . o 2 x→0 x2
π3 2 .

sen πx(1 − cos πx) . Soluci´n L = o x→0 x2 sen x √ √ 3 x2 − 2 3 x + 1 1 . Soluci´n L = 9 . o 19. l´ ım x→1 (x − 1)2 20. l´ ım 21. l´ ım (3 + x)3 x − 27
x→0

35. l´ ım 36. l´ ım 37. l´ ım

x→π

sen(πx) . Soluci´n L = π. o x→2 (x − 2) cos(πx) sen(π(x − 2)) . Soluci´n L = π . o 4 x→2 x2 − 4 1 − cos2 (x) . Soluci´n L = 1. o x→0 x tg(x) 1 − 2 cos(x) .Soluci´n L = o 3x − π x π − cot(x) 2 cos(x)
1 √ . 3

. Soluci´n L = 27. o

1 x→0 x

1 1 1 − . Soluci´n L = − . o 3+x 3 9

38. l´ ım

x(1 + x) 22. l´ ım . Soluci´n L = . o x→0 |x| √ √ x+3− 3 1 23. l´ ım . Soluci´n L = √ o x→0 x 2 3 √ (x + 3)2 − 9 √ . Soluci´n L = 12 3. 24. l´ √ ım o x→0 3+x− 3 2 − √x x √ . Soluci´n L = −3. 25. l´ ım o x→1 1 − x √ x √ . Soluci´n L = 1. 26. l´ ım o + x + xx→0
Profesor Blog : : ´ Miguel Angel Mu˜ oz Jara. n www.miguelangelmunozjara.wordpress.com

39. l´ π ım
x→ 3

40. l´ π ım
x→ 2

. Soluci´n L = −1. o

41. l´ ım 42. l´ ım

sen(3x) . Soluci´n L = 3. o x→0 x sen(ax) . Soluci´n L = a . o b x→0 bx 1− cos(x) . Soluci´n L = 1 . o 4 x2

43. l´ ım

x→0

2

44. l´ ım 45. l´ ım

x→∞

x−1 3 √ . Soluci´n L = − 2 . o x→1 1 − 3 x

√

x1+x

x

. Soluci´n L = e−1 . o

47. l´ ım 48. l´ ım

tg(x) − sen(x) . Soluci´n L = 1 . o 2 x→0 x3 1 − 2 cos(x) . Soluci´n L = . o x→0 2x2

arc sen(x) 46. l´ ım . Soluci´n L = 1. o x→0 x 5. Determine en cada caso l´ ım

f (x + h) − f (x) , x ∈ Dom(f ). h→0 h e) f (x) = f ) f (x) = √ 3 1 x. Soluci´n L = √ o 3 3 x2

a) f (x) = x. Soluci´n L = 1 o b) f (x) = c, donde c ∈ R fijo....