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MATEMÁTICAS: 2º BACHILLERATO
SOLUCIONES A LOS PROBLEMAS DE OPTIMIZACIÓN: HOJA 6
1.- Determina dos números cuya suma sea 24 y tales que el producto de uno de ellos por el cubo del otro sea máximo.
x = 1er número; y = 2º número
Relación: x + y = 24 ⇒ x = 24 – y
Función: f(x,y) = ⇒ f(y) = 3·yx()3·24yy− =324yy−
Calculemos ahora la derivada de dicha función: f´(y) = 32472yy−
Igualando acero dicha derivada para calcular los posibles máximos o mínimos de la función: f´(y) = 0 ⇒ = 0 ⇒ y = 0 ó 72 – 4y = 0 ⇒ y = 0; y = 18 posibles máximos ó mínimos de la función. 32472yy−
Hallando la 2ª derivada para saber si es un máx. ó mín.: f´´(y) = 212144yy−
Sustituyamos los posibles máximos ó mínimos en dicha derivada:
f´´(0) = 0 duda ⇒ f´´(y) = 144 – 24y ⇒ f´´(0) = 144 ≠ 0 ⇒ y = 0 es P.I.de f(x)
f´´(18) = 144·18 – 12·182 = - 1296 < 0 máximo : y = 18; x = 24 – 18 = 6
Solución: Los números pedidos son 6 y 18.
2. Calcula el área máxima que puede tener un triángulo rectángulo tal que la suma de la longitudes de sus dos catetos vale 4 cm.
x = 1er cateto (base); y = 2º cateto (altura)
y
x Relación: x + y = 4 ⇒ y = 4 – x
Función: f(x,y) = 2yx⋅ ⇒ f(x) = ()24xx−⋅ = 242xx−Calculemos ahora la derivada de dicha función: f´(x) = 224x−
Igualando a cero dicha derivada para calcular los posibles máximos o mínimos de la función: f´(x) = 0 ⇒ 224x− = 0 ⇒ 4 – 2x = 0 ⇒ x = 2 posible máximo ó mínimo de la función.
Hallando la 2ª derivada para saber si es un máx. ó mín.: f´´(x) = 22−= - 1
Sustituyamos el posible máx. ó mín. en dicha derivada:
f´´(2) = - 1 < 0 máximo: x = 2; y = 4 – 2 = 2 ⇒ A = 22·2 = 2 cm2
Solución: El área máxima que puede tener el triángulo rectángulo es de 2 cm2
SOLUCIONES A LOS PROBLEMAS DE OPTIMIZACIÓN: HOJA 6 2
3.- Si se quiere vallar un campo rectangular que está junto a un camino. Si la valla del lado del camino cuesta 80 Euros/m y la de los otros 10 Euro/m, halla el área del mayor campo que puede cercarse con 28800 Euros.Relación: 90x + 20y = 28.800 ⇒ 9x+2y= 2880 ⇒ y = 1440 – 4´5x
y Función (área): f(x,y) = x·y ⇒ f(x) = x·(1440 – 4´5x) = 1440x – 4´5x2 x
Derivando: f´(x) = 1440 – 9x
Camino
Igualando a cero: f´(x)=0 ⇒ 1440 – 9x = 0 ⇒ x = 160 posible máx. ó mín.
Hallando la segunda derivada: f´´(x) = - 9
Sustituyamos el posible máx. ó mín. en dicha derivada: f´´(160) = -9 < 0 máximo.
Si x = 160 ⇒ y =1440 – 4´5·160 = 720
Solución: El área del mayor campo que se puede cercar con 28800 Euros es de 160 m. x 720 m. = 115.200 m2.
4. Las páginas de un libro deben medir cada una 600 cm2 de área. Sus márgenes laterales y el inferior miden 2 cm. y el superior mide 3 cm. Calcular las dimensiones de la página que permitan obtener la mayor área impresa posible.
Alto de la página impresa: y-5
Anchode la página impresa: x-4
Área impresa = (x-4)·(y-5) (función objetivo)
Área páginas = x·y = 600 (relación) ⇒ y = x600
Función: f(x, y) = (x-4)·( y – 5) ⇒ f(x) = (x – 4)·⎟⎠⎞⎜⎝⎛−5600x = 600 – 5x – x2400 + 20
Derivando: f´(x) = - 5 + 22400x
Igualando a cero: f´(x) = 0 ⇒ - 5 + 22400x= 0 ⇒ 22400x = 5 ⇒ x2 = 52400 ⇒
⇒ x = 480± = ± 21,91
Como no pude ser – 21,91 ya que las longitudes nopueden ser negativas. El único punto posible máximo ó mínimo de f(x) es x= +21,91
Hallando la segunda derivada: f´´(x) = 42·24000xx−=34800x−
Sustituyamos el posible máx. ó mín. en dicha derivada: f´´(21,91) = (-) < 0 máximo.
Si x = 21,91 ⇒ y =91,21600 = 27,38
Solución: La hoja debe tener de ancho 21,91 cm y 27,38 cm de alto..
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SOLUCIONES A LOS PROBLEMAS DE OPTIMIZACIÓN: HOJA 6
5.-Entre todos los rectángulos inscritos en una circunferencia de radio 10 cm, calcula las dimensiones del que tenga área máxima.
Relación: x2 + y2 = 202 ⇒ y2 = 400 – x2 ⇒ y = 2400x−
Función: A(x, y) = x·y ⇒ A(x) = x·2400x− = 42400xx−
Como la función es positiva se puede elevar al cuadrado sin que varíen sus máximos y/o mínimos:
f(x) = (A(x))2 = x2 ·(400 – x2) = 400x2 – x4
Derivando:...
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