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CURSO BÁSICO DE MATEMÁTICAS PARA ESTUDIANTES DE ECONÓMICAS Y EMPRESARIALES
Unidad didáctica 4. Números reales y números complejos

Autoras: Gloria Jarne, Esperanza Minguillón, Trinidad Zabal

NÚMEROS REALES
Como se ha señalado anteriormente la necesidad de resolver diversos problemas de origen
aritmético y geométrico lleva a ir ampliando sucesivamente los conjuntos numéricos, N ⊂ Z ⊂ Q, ya
definir el conjunto de los números irracionales, I, cuya intersección con los otros es vacía. A partir
de los números racionales y los irracionales se define un nuevo conjunto al que se denomina
conjunto de números reales.
El conjunto de los números reales, R, es la unión del conjunto de los números racionales y el
conjunto de los números irracionales, es decir, R = Q ∪ I.
Es inmediato quedado un número real cualquiera o bien es racional o bien es irracional ya que la
intersección de Q e I es vacía.
Ejemplo 9: Los siguientes números son números reales:

504,

-13,

7
,
5

1’4 32 ,

5

5+2 3 ,

-4
,
3+5

1 - e,

π2

Operaciones en el conjunto de números reales
La suma es una operación interna en R y sus propiedades se enumeran a continuación. Dados a, by c œ R se verifica:
1. Asociativa: (a+b) + c = a + (b+c)
2. Elemento neutro: es el número 0, ya que a + 0 = 0 + a = a
3. Elemento simétrico: Dado a, su elemento simétrico, llamado opuesto, es -a, ya que se
cumple a + (-a) = (-a) + a = 0
4. Conmutativa: a+b = b+a
Con estas propiedades se puede decir que el conjunto de los números reales con la operación suma
es un grupo conmutativo.
Elhecho de que dado cualquier número real exista su elemento opuesto permite que la resta en R,
definida por a – b = a + (-b), sea una operación interna.
El producto es una operación interna en R y sus propiedades se enumeran a continuación. Dados a,
b y c œ R se verifica:
1. Asociativa: (a.b).c = a.(b.c)
2. Elemento neutro: es el número 1, ya que 1.a = a.1= a
3. Elemento simétrico: Dado a ≠ 0,su elemento simétrico, llamado inverso, es a-1 =

1
, ya que
a

1
1
se cumple a. = .a = 1.
a
a
4. Conmutativa: a.b = b.a
5. Distributiva respecto de la suma: a.(b+c) = a.b + a.c
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CURSO BÁSICO DE MATEMÁTICAS PARA ESTUDIANTES DE ECONÓMICAS Y EMPRESARIALES
Unidad didáctica 4. Números reales y números complejos

Autoras: Gloria Jarne,Esperanza Minguillón, Trinidad Zabal

Con estas propiedades y las enumeradas para la suma se puede decir que el conjunto de los
números reales con las operaciones suma y producto es un cuerpo conmutativo.
El hecho de que dado cualquier número real
1
división en R, definida por a:b = a.b-1 = a. =
b

no nulo exista su elemento inverso permite que la
a
, exista siempre que b sea no nulo.
bEjemplo 10:
1
a) Teniendo en cuenta la propiedad asociativa, el producto -8. .25 se puede calcular de las dos formas siguientes:
2

( )
( )
−8.

−8.

b)

1
2

1

2

.25 = −4.25 = −100

.25

= −8.

25
2

=

−200
2

= −100

(10+4).6 = 14.6 = 84
Por la propiedad distributiva también se podía haber operado como sigue: (10+4).6 = 10.6 + 4.6 = 60 + 24 = 84

c) 375.11– 425.11 = 4125 – 4675 = -550
Por la propiedad distributiva también se podía haber operado como sigue:
375.11 – 425.11 = (375-425).11 = -50.11 = -550
En este caso, aplicar la propiedad distributiva equivale a sacar factor común el número 11.
d) Aplicando la propiedad distributiva en las dos expresiones siguientes se tiene:
5.(a+3) = 5a + 15
2⎞
-3.⎛5 +
⎝ 3 ⎠ = -15 -

2

e) El elementoinverso de

3
2
3 2
3.2
6
es , ya que . =
= =1
2
3
2 3
2.3
6

f) El elemento inverso de

-4
es
3

1
-3
=
-4
4
3

Notar que para realizar operaciones combinadas hay que tener en cuenta la prioridad entre las
operaciones. Si hay paréntesis, estos se calculan en primer lugar y si no los hay los productos y
divisiones tienen prioridad a las sumas y restas.
Ejemplo 11:...