Matematica
Páginas: 32 (7822 palabras)
Publicado: 2 de septiembre de 2012
ANALISIS MATEMATICO I Ciclo Lectivo 2009 Guía de Estudio y Práctica 04
DERIVADA
Ing. Jorge J. L. Ferrante I CONSOLIDACIÓN DE CONCEPTOS. Tangentes y normales Uno de los problemas más antiguo de la Geometría y por tanto de la Matemática fue el problema de encontrar rectas tangentes y normales a una curva dada. Este problema tiene un sinfín de aplicaciones prácticas: 1. 2. 3. 4. Calcular elángulo entre dos curvas, planteado por Descartes Construir telescopios, necesidad de Galileo Encontrar máximos y mínimos, problema de Fermat Velocidad y aceleración del movimientos de cuerpos, investigaciones de Galileo y Newton 5. Astronomía, movimiento de los cuerpos celestes , cosmología de Kepler y Newton 6. Seguramente de mucha importancia para artilleros de aquellas épocas y de estas. 7. Física,química, economía, sociología y dentro de muy poco, derecho. Apolonio de Pergamo (c. 262-190 a. C.) fue un geómetra griego famoso por su obra Sobre las secciones cónicas. Fue él quien dio el nombre de elipse, parábola e hipérbola, a las figuras que se conocen por esos nombres. Se le atribuye la hipótesis de las órbitas excéntricas o teoría de los epiciclos para intentar explicar el movimientoaparente de los planetas y de la velocidad variante de la luna. Tema que perduró hasta Copérnico. Sus extensos trabajos sobre geometría tratan de las secciones cónicas y de las curvas planas y la cuadratura de sus áreas. Recopiló su obra en ocho libros y fue conocido con el sobrenombre "el Gran Geómetra".
Resuelve los problemas de construir una circunferencia tangente a tres elementos cualesquieraelegidos entre un punto, una recta y una circunferencia (este problema se conoce como el problema de Apolonio); Los métodos que utiliza Apolonio en las Cónicas (uso de rectas como sistemas de referencia) son muy parecidos a los utilizados por Descartes en su Geometría y se considera una anticipación de la Geometría analítica actual. Hasta la época de Fermat es poco lo que se avanzó después deApolonio debiendo notarse que gran parte de sus obras fueron recuperadas cuando, de la traducción al árabe, fueron pasadas al latín por ese entonces lenguaje de la ciencia. Trazar tangentes y normales a circunferencias y cónicas en general en forma gráfica fue resuelto exitosamente, mientras que para curvas cualesquiera el tema es mucho más complicado. Mucho más si se lo quiere hacer analíticamenteen lugar de hacerlo con regla y compás. El aporte de ROBERVAL La idea primaria de Roberval es la de movimiento instantáneo. Considera una curva como generada por un punto en movimiento. Si en cada punto de la curva los vectores que generan el movimiento pueden ser determinados, entonces la tangente es simplemente la suma vectorial de esos vectores. Lo logra para parábolas, elipses y tal vezcicloides pero no puede avanzar sobre otras curvas. Queda a un paso de lo que actualmente se conoce como ecuaciones paramétricas de una curva, pero no lo da.
El aporte de FERMAT El método de Fermat fue desarrollado durante 1630 y, aunque no es riguroso, es tan exacto como el utilizado posteriormente por Newton y Leibniz, sin utilizar el concepto de límite. Si embargo, observando en detalle su métodose puede decir que Fermat entendía con precisión el método de diferenciación en uso. Con una misteriosa tangentes a curvas planas.
E, Fermat desarrolla un método para hallar
Para eso considera el punto [x,f(x)] y traza por él su tangente. Para determinar la pendiente de esa recta considera la denominada (actualmente) subtangente s y el punto x+E y suponiendo que estando próximo a x puedeconsiderar, por semejanza de triángulos
Despejando s se tiene
Luego hace E = 0
Por ejemplo para la ecuación y = f(x) = x3 se tiene
Haciendo E = 0
Volviendo a la ecuación original
f ( x + E ) − f ( x) f ( x) x 3 = = = 3x 2 x E s 3
Con este método fue capaz de desarrollar expresiones para polinomios de grado n El aporte de Isaac BARROW (1630 – 1677) Teólogo y matemático,...
DERIVADA
Ing. Jorge J. L. Ferrante I CONSOLIDACIÓN DE CONCEPTOS. Tangentes y normales Uno de los problemas más antiguo de la Geometría y por tanto de la Matemática fue el problema de encontrar rectas tangentes y normales a una curva dada. Este problema tiene un sinfín de aplicaciones prácticas: 1. 2. 3. 4. Calcular elángulo entre dos curvas, planteado por Descartes Construir telescopios, necesidad de Galileo Encontrar máximos y mínimos, problema de Fermat Velocidad y aceleración del movimientos de cuerpos, investigaciones de Galileo y Newton 5. Astronomía, movimiento de los cuerpos celestes , cosmología de Kepler y Newton 6. Seguramente de mucha importancia para artilleros de aquellas épocas y de estas. 7. Física,química, economía, sociología y dentro de muy poco, derecho. Apolonio de Pergamo (c. 262-190 a. C.) fue un geómetra griego famoso por su obra Sobre las secciones cónicas. Fue él quien dio el nombre de elipse, parábola e hipérbola, a las figuras que se conocen por esos nombres. Se le atribuye la hipótesis de las órbitas excéntricas o teoría de los epiciclos para intentar explicar el movimientoaparente de los planetas y de la velocidad variante de la luna. Tema que perduró hasta Copérnico. Sus extensos trabajos sobre geometría tratan de las secciones cónicas y de las curvas planas y la cuadratura de sus áreas. Recopiló su obra en ocho libros y fue conocido con el sobrenombre "el Gran Geómetra".
Resuelve los problemas de construir una circunferencia tangente a tres elementos cualesquieraelegidos entre un punto, una recta y una circunferencia (este problema se conoce como el problema de Apolonio); Los métodos que utiliza Apolonio en las Cónicas (uso de rectas como sistemas de referencia) son muy parecidos a los utilizados por Descartes en su Geometría y se considera una anticipación de la Geometría analítica actual. Hasta la época de Fermat es poco lo que se avanzó después deApolonio debiendo notarse que gran parte de sus obras fueron recuperadas cuando, de la traducción al árabe, fueron pasadas al latín por ese entonces lenguaje de la ciencia. Trazar tangentes y normales a circunferencias y cónicas en general en forma gráfica fue resuelto exitosamente, mientras que para curvas cualesquiera el tema es mucho más complicado. Mucho más si se lo quiere hacer analíticamenteen lugar de hacerlo con regla y compás. El aporte de ROBERVAL La idea primaria de Roberval es la de movimiento instantáneo. Considera una curva como generada por un punto en movimiento. Si en cada punto de la curva los vectores que generan el movimiento pueden ser determinados, entonces la tangente es simplemente la suma vectorial de esos vectores. Lo logra para parábolas, elipses y tal vezcicloides pero no puede avanzar sobre otras curvas. Queda a un paso de lo que actualmente se conoce como ecuaciones paramétricas de una curva, pero no lo da.
El aporte de FERMAT El método de Fermat fue desarrollado durante 1630 y, aunque no es riguroso, es tan exacto como el utilizado posteriormente por Newton y Leibniz, sin utilizar el concepto de límite. Si embargo, observando en detalle su métodose puede decir que Fermat entendía con precisión el método de diferenciación en uso. Con una misteriosa tangentes a curvas planas.
E, Fermat desarrolla un método para hallar
Para eso considera el punto [x,f(x)] y traza por él su tangente. Para determinar la pendiente de esa recta considera la denominada (actualmente) subtangente s y el punto x+E y suponiendo que estando próximo a x puedeconsiderar, por semejanza de triángulos
Despejando s se tiene
Luego hace E = 0
Por ejemplo para la ecuación y = f(x) = x3 se tiene
Haciendo E = 0
Volviendo a la ecuación original
f ( x + E ) − f ( x) f ( x) x 3 = = = 3x 2 x E s 3
Con este método fue capaz de desarrollar expresiones para polinomios de grado n El aporte de Isaac BARROW (1630 – 1677) Teólogo y matemático,...
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