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TEMA 3: Funciones de varias variables reales. Límite y continuidad

TEMA 3:

FUNCIONES DE VARIAS VARIABLES. LIMITE Y CONTINUIDAD

Contenidos: 1. Vectores y matrices en ℝn . 2. Función real de varias variables. Funciones vectoriales. 3. Gráfica de una función de dos variables. Curvas de nivel. 4. Límite de una función de varias variables. 5. Continuidad. Propiedades.

OBJETIVOS GENERALESCon el desarrollo de este tema se pretende que el alumno alcance los siguientes objetivos: 1. Conocer el concepto de vector de ℝn y las operaciones suma de vectores, producto de vectores por números reales y producto escalar de dos vectores. 2. Conocer el concepto de matriz y las operaciones suma de matrices, producto de matrices por números reales y producto de matrices. 1. Diferenciar losconceptos de función de una variable, función de varias variables y función vectorial. 2. Calcular dominios de funciones de varias variables (en particular de dos variables) y de funciones vectoriales. 3. Conocer el concepto de curva de nivel y su relación con la gráfica de funciones de dos variables. 4. Comprender el concepto de límite de una función de varias variables como una generalización dellímite de una función de una variable y saber diferenciar ambos conceptos. 5. Entender la continuidad de funciones escalares y vectoriales, fundamentalmente de los tipos usados en Economía y Empresa.

1 Métodos Cuantitativos para la Economía y la Empresa

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1. Vectores y matrices en ℝn . 1.1. Vectores de Rn

x Un vector de Rn ode n componentes es una n-upla de números reales  =x 1 , x 2 ,, x n  .

x El número real x 1 es la primera componente del vector  , el número x2 es la segunda componente y en x i  i=1,2 ,, n  es la componente i-ésima o de lugar i del vector  general x
Obviamente Rn es el conjunto de todos los vectores de n componentes:

ℝ ={ x1 , x 2 , , x n /∀ i=1,2 ,, n x i ∈ℝ}
Trabajaremosfrecuentemente con los conjuntos:
2 3 ℝ ={x , y/x , y ∈ℝ} y ℝ ={x , y , z/ x , y , z ∈ℝ}

n

1.2. Operaciones con vectores En Rn se pueden realizar las operaciones suma de vectores, producto de un vector por un número real y producto escalar de dos vectores.

y Sean x =x 1 , x2 ,, x n  e  = y1 , y 2 ,, y n   (escalar) cualquiera. Entonces se definen
Suma de vectores :

dosvectores cualesquiera de Rn y sea λ un número real

n x y   =x 1y 1 , x 2y 2 ,, x ny n  ∈ ℝ

x x Producto de un vector por un número :   =  = x 1 , x 2 ,,  x n  ∈ ℝ n
Producto escalar de dos vectores: ⋅ =x1 y1x 2 y 2x n y n=∑ x i y i ∈ℝ xy
i=1 n

Observación: El producto escalar de dos vectores de Rn es un número real. A partir de las dos primeras operaciones se definela resta de vectores:

x −y = x −1 y =x 1 , x 2 ,, x n −y 1 ,−y 2 ,,−y n =x 1−y1 , x 2−y 2 ,, x n−y n  ∈ ℝ n    

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1.3. Matrices Una matriz A de m filas y n columnas o de orden m×n es un conjunto de m.n números reales ordenados en m filas y  a11 a12 a1n     a 21 a 22  a 2n  n columnas de la forma: A m× n = A =         a   m1 a m2  a mn  Los números aij se llaman elementos de la matriz. El primer subíndice indica la fila en la que se encuentra el elemento y el segundo subíndice indica la columna. Decimos que aij es el elemento de lugar (i,j) de la matriz A. Las filas y columnas de una matriz se llaman indistintamente líneasde la matriz. La matriz A también se puede representar como A = (a ij ) , donde i = 1,..., m y j =1,..., n. Igualdad de matrices: Dos matrices del mismo orden A = ( a ij ) m× n y B = (b ij ) m× n son iguales si tienen elementos iguales en los mismos lugares. Es decir, cuando aij = bij ∀ i , j. Matriz cuadrada. Es toda matriz que tiene igual número de filas que de columnas; es decir, de orden...