Matematicas especiales

FUNCIONES DE UNA VARIABLE COMPLEJA
El concepto de función involucra dos conjuntos X y Y y una regla que asocia a cada elemento x en el conjunto X (que se escribe como x ϵ X) precisamente un elemento y ϵ Y. siempre que sucede esto, decimos que hay una función f que mapea el conjunto Y, y simbólicamente se representa esto como
y = f(x) (x ϵ X)
f(.)
Esquemáticamente ilustramos una función dela siguiente manera:
mapeo
y
Conjunto
Y
.
Conjunto
X
.
x


Mientras x puede tomar cualquier valor en el conjunto X, la variable y = f(x) depende del elemento particular elegido para x por eso nos referimos a x como la variable independiente y a y como la variable dependiente. El conjunto X es llamado dominio de la función y el conjunto de todaslas imágenes y = f(x) (x ϵ X) es llamado el conjunto imagen o rango de f. si la vaiable independiente es una variable compleja z = x + iy donde x e y son reales y i = -1, entonces la función f(z) de z, en general será también compleja. Por ejemplo, si f(z) = z2 entonces al remplazar por x + iy para luego desarrollarse se tiene:
f(z) = (x + iy)2 = (x2 – y2) + i2xy = u + iv (digamos)
donde u yv son reales. Tal f(z) es llamada una función compleja y escribimos
w = f(z)
donde, en general, la variable dependiente w = u + iv también es compleja. Como ya sabemos el numero complejo puede ser representado en el plano, sin embargo, no podemos dibujar los valores de x, y y f(z) en un solo conjunto de ejes, como podemos hacerlo para funciones reales; por lo tanto representamos los valoresde
w = f(z) = u + iv
W = f(z)
en un segundo plano de la siguiente manera:
Mapeo o
Trasnformacion
w
S´

v
u
y
x
z
dominio
rango
S

el plano que contiene a la va7riable independiente z es llamado el plano z y el plano que contiene a la variable dependiente w es llamado el plano w. así, la función compleja w = f(x) puede verse como un mapeo o tranformacion de puntos Sdentro de una región en el plano z (llamada el dominio) a los puntos imagen correspondientes S´ dentro de una región en el plano w (llamado en rango).
Es esta facilidad para mapear la que da a la teoría de funciones complejas muchas de sus aplicaciones a la ingeniería. En la mayoría de los mapeos mas utilizados todo el plano z es mapeado sobre todo el plano w, excepto quizás para algunos puntosaislados. El dominio será todo el plano z (esto es el conjunto de todos los números complejos, denotado por ℂ). Esto es análogo, para funciones reales, a que el dominio sea toda la recta real (esto es, el conjunto de todos los números ℝ). Si este no es el caso entonces la función compleja se considera que no esta bien definida. En contraste, como para las funciones reales, el rango de la funcióncompleja puede ser un subconjunto propio de ℂ.
DERIVADAS PARA LOS NUMEROS CMPLEJOS
f1a=limh→0fa+h-fah
Im z
S
f1a existe
f es holomorfa cuando se deriva un punto de S y este existe
Rea z

z ϵ C
z=x+iy f es entera cuando es derivable en todo punto de la region compleja S
Rea z
PROPIEDADES DE LOS LÍMITES PARA LOS NUMEROS COMPLEJOS
1.(fa-+ga)1=f1a-+g1a
2. f1ag1a=fag1a+f1aga
3. faga1=f1aga-g1afaga2

Demostración de las propiedades
1. f1ag1a=limh→0fa+hga+h-fagah
=limh→0fa+hga+h-faga-fa+hga+fa+hgah
=limh→0fa+hga+h-fa+hgah+limh→0fa+hga-fagah
=limh→0fa+hga+h-gah+limh→0gafa+h-fah
=limh→0fa+hlimh→0ga+h-gah+limh→0galimh→0fa+h-fah
=fag1a+f1aga
* fz=zn ⇒ f1z=nzn-1
limh→0z+hn-znhlimh→0zn0!+nzn-1h1!+nn-1zn-1h22!+………..+hn0!-znh
limh→0nzn-1h1!h+nn-1zn-1h22!h+………+hnh
limh→0nzn-1h1!h+nn-1zn-1h22!h+………+hn-1
limh→0nzn-11!
limh→0nzn-1

DERIVADAS PARCIALES PARA NUMERO COMPLEJOS
fz=w=uz+ivz
fz=w=ux,y+ivx,y
fx,y=w=ux,y+ivx,y
∂f∂x=f1z=limh→0fx+h,y-fx,yh=∂∂xfx, h→es real
∂f∂y=f1z=limh→0fx,y+h-fx,yh=1i∂f∂yii=-i∂f∂y, h=ik
∂f∂x=-i∂f∂y→si estas dos funciones son iguales es analitica...