Matematicas financieras

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FUNDAMENTOS DE MATEMATICAS FINANCIERAS

EXPONENTES Y LEYES DE LOS EXPONENTES

El producto de un numero real que se multiplica por sí mismo se denota por a x a o aa. Si el mismo número se vuelve a multiplicar por si mismo se denota a x a x a o aaa. Para simplificar este tipo de expresiones se acostumbra utilizar una notación abreviada tal que:
a x a = a2
a x a x a = a3
a x a x a x a x a =a5
En la que al símbolo a se le llama base y al número escrito arriba y a la derecha del mismo se le llama exponente. El exponente indica el número de veces que la base a se toma como factor.

LEY DE LOS EXPONENTES


Producto de potencia para la misma base
am x an = am+n
Cociente de dos potencias de la misma base
am÷an = am-n
Potencia de una potencia
(am)n = amn

Potencia delproducto de 2 factores
(ab)n= anbn
Potencia del cociente de 2 factores
(a÷b)n = an÷ bn
Exponente 0
am ÷ am = am-m = a0 = 1
Exponente negativo
a-n= 1 ÷ an
Exponente fraccionario
am/n = (n a m) = n am


EJEMPLO

Y3 = y3-4 = y-1 = 1 .
Y4 y
a4 * a2= a4+2= a6
(x3)5= x3x5= x15
(3x2)3= (33)(x2x3) = 27x6
(2*5)2= 22 * 52 = 4*25 = 100
x3y2 = x3-2y2-1 = xy
x2 y

x5y5 = x5-4 55-6 = xy-1 = x * 1 = x .
x4 y9 1 y y
(2a2)3 = 23 a2*3 = 8a6
(b)3 b3 b3
(x3)2 = x3*2 = x6 = x6-4= x2
(x2)2 x2*2 x4

(a2)1/2 = a2/2 *1/2 = a2/2 – 3/2 = a -1/2 =
(a3)1/2 a3/2 *1/2
x+2x+3=0
3x+3=0
3x= -3
X= -3 = -1
3
5x-6x-5=10
-x-5=10
-x=10 +5
-x= 1515=x
10x-8x+2x-1=0
4x-1=0
X=1/4


LOGARITMOS
Sea N un numero positivo, y b un número positivo diferente de 1; entonces, el logaritmo en base b del número N es el exponente L de la base b tal que bL=N. El enunciado de que L es el logaritmo en base b del número N se escribe como
L= logbN
3 = log2 8 ya que 23 = 8
4 = log3 81 ya que 34 = 81
2 = log5 25 ya que 53 =25

En la práctica común se utilizan dos tipos de logaritmos: naturales cuya base es el número e=2.718281829…, y los logaritmos comunes, cuya base es b=10. Ambos pueden ser determinados fácilmente con ayuda de una calculadora electrónica o mediante tablas.
Los logaritmos base 10 son llamados logaritmos comunes y para identificarlos se utiliza el símbolo:
L= log10N = log N.
Los logaritmosnaturales (base e) se simbolizan como sigue:
ln= log nat N= logeN

PROGRESIONES ARITMETICAS

Una progresión aritmética es una sucesión de números llamados términos, tales que dos números cualesquiera consecutivos de la sucesión están separados por una misma cantidad llamada diferencia común.
1, 4, 7, 10…, es una progresión aritmética cuya diferencia común es 3.
30, 25, 20, 15…, es unaprogresión aritmética cuya diferencia común es -5.

Si se considera t1=como el primer término de una progresión, d= como diferencia común y n= el No. De términos de la misma, se genera una progresión de la forma.
t1, t1 + d1, t1 + d2, + t1 + d3…, t1 + (n – 2)d, t1 + (n – 1) d

El U1= Ultimo término de una progresión será igual al primer término de la misma adicionado de (n – 1) diferencias
u=t1 + (n – 1)d
Es una serie de 3 términos puede verse claramente esto:
t1, t1 + d, t1 + 2d
El último termino (t1 + 2d) es igual al primer término (t1), adicionado de (n – 1) veces la diferencia común, ya que n=3, n – 1 = 2.
La S= Suma de una progresión aritmética puede escribirse como sigue:
S = t1 + ( t1 + d) + ( t1 + 2d) + … + (u – 2d) + (u – d) + u

EJEMPLOS:

t1, t1+d, t1+2d,t1+3d……t1+(n-1)d
t=2
d=2
n= 8
U1= t1 + (n-1)d
U= 2 + (8-1)2
U= 2+7+2
U= 11


10 términos y la suma de la progresión 3,7, 11

t1= 3
n= 10
d= 4

U= t1+(n-1)d
U= 3+(10-1)4
U= 3+(9)4
U=3+35
U=39
S=n/2(t1+U)
S=10/2(3+39)
S=(5)(42)
S=210


Conociendo t5 = 27, t7= 35, determine t1, S7
t7= t1 + 6d=35
t5= t1 + 4d=27

Restando la ecuación t5 de t7 se tiene que:
(t1 + 6d)...
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