Matematicas iv

5.1 DEFINICIÓN TRANSFORMACIÓN LINEAL Y SUS PROPIEDADES

Una aplicación lineal (también llamada función lineal, transformación lineal u operador lineal) es una aplicación entre dos espacios vectoriales, que preserva las operaciones de suma de vectores y producto por un escalar.

El término función lineal se usa incorrectamente en análisis matemático y en geometría para designar una recta, unplano, o en general una variedad lineal. Son aplicaciones lineales los operadores usados en la formulación matemática de la mecánica cuántica.

Sean V y W espacios vectoriales. La función T: V W se llama transformación lineal de V en W si las dos operaciones siguientes son verdaderas para todo u y v en V y para cualquier escalar c.

1. T(u + v)= T(u) + T(v)

2. T( cu )=cT (u)5.1.1. INTRODUCCION A LAS TRANSFORMACIONES LINEALES Y PROPIEDADES.

A las funciones que transforman o mapean un espacio vectorial V en un espacio vectorial W. Este tipo de función se denota por

T: V W.

Para estas funciones se utiliza la notación estándar de ellas. Por ejemplo, V se llama dominio de T. Si v esta en V y w esta en W de modo que

T(v)=w,

Entonces w se llama imagen de v bajoT. El conjunto de todas las imágenes de los vectores en V se llama contradominio de T y el conjunto de todos los v en V tales que T(v)=w se llama preimagen de w. Véase la figura siguiente.

[pic]

Observación: Para un vector v= (v1, v2…., vn) en Rn, seria técnicamente correcto usar un doble paréntesis para denotar T(v) como T(v)=T((v1, v2…., vn)). Por conveniencia, sin embargo, se elimina unconjunto de paréntesis, quedando

T (v)=T (v1, v2,…vn)

Ej. 1 Una función de R2 a R2

Para cualquier vector v= (v1, v2) en R2, sea T: R2 R2 definida por

T (v1, v2)= (v1-v2, v1+2v2).

a) Determine la imagen de v= (-1, 2).

b) Encuentre la preimagen de w= (-1, 11).

Solución:

a) Para v=(-1, 2) se tiene

T (-1, 2)= (-1-2, -1+2(2))

=(-3, 3).

b) Si T(v)=(v1-v2, v1 + 2v2)=(-1, 11), entonces

V1 - v2 = -1

V1 + 2v2=11

Este sistema de ecuaciones tiene la solución única v1 = 3 y v2= 4. Por tanto, la preimagen de (-1, 11) es el conjunto en R2 que consta solamente del vector (3, 4).

A esta clase de funciones de un espacio vectorial a otro y que conservan las operaciones de suma vectorial ymultiplicación escalar se les llama transformaciones lineales.

5.1.2. CONCLUCIONES DE LAS PROPIEDADES

Sea T una transformación lineal de V en W, donde u y v están en V. Entonces, las propiedades siguientes son verdaderas.

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Demostración: Para demostrar la primera propiedad, observe que 0v= 0. Entonces, se concluye que

T (0)= T (0v)= 0T(v)= 0.

La segunda propiedad se concluye de–v=(-1)v, que implica que

T (-v)= T [(-1) v]= (-1) T (v)= -T (v).

La tercera propiedad se concluye de que u – v= u + (-v), que implica que

T (u – v)= T [u + (-1) v]0 T (u) + (-1) T (v)= T (u) – T (v).

La propiedad 4 del teorema establece que una transformación lineal t: V W es determinada completamente por su efecto sobre una base de V.

5.2 EJEMPLOS DE TRANSFORMACIONES LINEALES

Se diceque una transformación lineal conserva operaciones porque se obtiene el mismo resultado si las operaciones de suma y multiplicación escalar se afecten antes o después de que se aplique la transformación lineal, aunque se utilizan los mismos símbolos para denotar las operaciones vectoriales tanto en V como en W, debe observarse que las operaciones pueden ser diferentes , como se indica en elsiguiente diagrama.

[pic]

Ej. 2 Comprobación de una transformación lineal de R2 en R2

Demuestre que la función dada en el ejemplo 1 es una transformación lineal de R2 en R2

T(v1, v2)= (v1 –v2, v1 + 2v2)

Solución: Para demostrar que la función T es una transformación lineal es necesario demostrar que conserva la suma y la multiplicación escalar. Para esto, sean v=(v1, v2) y u= (u1,...