Matematicas

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TALLER DE MATEMATICAS

PRESENTADO A

MANUEL FERNANDO RODRIGUEZ

PRESENTADO POR

ANA RUBIELA AGUILAR

CAROLINA ORTEGA

TEOFILDE TORRES

YOLIMA BECERRA

GRUPO 2D4

FACULTAD DE CIENCIAS ADMINISTRATIVAS Y CONTABLES

MATEMATICAS APLICADAS II

UNIVERSIDAD COOPERATIVA DE COLOMBIA

26 DE NOVIEMBRE DEL 2007

1. OPTIMIZACION

La optimización (también denominada programaciónmatemática) intenta dar respuesta a un tipo general de problemas de la forma:

[pic]

Donde x = (x1,...,xn) es un vector y representa variables de decisión, f(x) es llamada función objetivo y representa o mide la calidad de las decisiones (usualmente números enteros o reales) y Ω es el conjunto de decisiones factibles o restricciones del problema.

Algunas veces es posible expresar el conjuntode restricciones Ω como solución de un sistema de igualdades o desigualdades.

[pic]

Un problema de optimización trata entonces de tomar una decisión óptima para maximizar (ganancias, velocidad, eficiencia, etc.) o minimizar (costos, tiempo, riesgo, error, etc.) un criterio determinado. Las restricciones significan que no cualquier decisión es posible.

1.1 Tipos de optimizaciones

Segúnel nivel de generalidad que tome el problema, será la resolución que se plantee.

✓ Optimización clásica
Si la restricción no existe, o es una restricción de igualdad, con menor o igual número de variables que la función objetivo entonces, el cálculo diferencial, da la respuesta, ya que solo se trata de buscar los valores extremos de una función

✓ Optimización con restricciones dedesigualdad - optimización no clásica
Si la restricción contiene mayor cantidad de variables que la función objetivo, o la restricción contiene restricciones de desigualdad, existen métodos en los que en algunos casos se pueden encontrar los valores máximos o mínimos.

Si tanto restricciones, es una tonteria gili, como función objetivo son lineales (Programación lineal o PL), la existencia demáximo (mínimo), esta asegurada, y el problema se reduce a la aplicación de unos simples algoritmos de álgebra lineal elemental los llamados método simplex; y método dual. Sin embargo, si estas condiciones no se cumplen, existen, las llamadas condiciones de Khun -Tucker, las cuales en algunos casos, pueden ser utilizables, para probar encontrar puntos críticos, maxímos o mínimos. Sin embargo, esta esun area aún muy poco desarrollada de la matemática, frecuentemente, las condiciones de Khun y Tucker fallan, o no son suficientes, para la existencia de extremos.

✓ Optimización estocástica
Cuando las variables del problema (función objetivo y/o restricciones) son variables aleatorias el tipo de optimización realizada es optimización estocástica.
✓ Optimización con información noperfecta
En este caso la cantidad de variables, o más aún la función objetivo puede ser desconocida o también variable. En este campo, la matemática conocida como matemática borrosa, está realizando esfuerzos, por resolver el problema. Sin embargo, como el desarrollo de esta área de la matemática es aún demasiado incipiente, son escasos los resultados obtenidos.

✓ Optimización multi objetivoDe Wikipedia, la enciclopedia libre
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En un problema de optimización se tratará de encontrar una solución que represente el valor óptimo para una función objetivo.

En el caso más sencillo se tendrá un único objetivo, que estará representado por una función del tipo [pic], donde [pic]y [pic]. Tanto el dominio como la imagen de la función serán números reales(escalares), y el valor óptimo corresponderá a un mínimo o a un máximo.

Ejemplo: Al minimizar la función f(x) = x2 − 5, el valor óptimo es − 5, y se da para x = 0, según puede ver en la figura 1.

[pic]
Figura 1: Mínimo de la función f(x) = x2 − 5

✓ Extencion a multiples objetivos

Pero en ciencias e ingeniería se dan, en bastantes ocasiones, problemas que requieren la...
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