Matematicas

Derivadas Parciales

1) Hallar las derivadas parciales de las siguientes tres funciones:

; ;

Tenemos entonces:
,

,

,

2) Encontrar las derivadas parciales de las funciones: u, w, v donde
u= , w= , v=

Se tiene que:
, ,

, ,

, ,

Ejercicios:
Encontrar las derivadas parciales de las siguientes funciones:

1)f(x,y,z)=
2) f(x,y,z)=
3) f(x,y)=
4) f(x,y)=
5) f(x,y)=
6) f(x,y)=
7) f(x,y)=
8) f(x,y)=
9) f(x,y)=
10) f(x,y)=
11) f(x,y)=
12) f(x,y)=
13) f(x,y,z)=
14) f(x,y,z)=
15) f(x,y,z)=
16) Hallar y si
17) Hallar , y si
18) Verificar que si se cumple
19) Verificar que si se cumple que:
20) Si , verifique que:
21) ¿Cuáles son losvalores de las derivadas parciales de: en (0,0)?
22) Encontrar las derivadas parciales de: , con respecto a: r,
23) Si verificar que
24) Calcular si
25) Hallar las derivadas parciales de segundo orden de las siguientes funciones:
a)
b)
c) constantes
d)
e)
f)
g)
h)
26) Hallar , si
27) Si , verificar que:
28) Si c es una constante y ,demuestre que
29) Verificar que si , se cumple
30) Verifique que para las siguientes funciones:
a)
b)



31) Si , encuentre en ( ) directamente de la definición

Derivación de funciones compuestas – Regla de la Cadena

1) Si , donde , , encuentre y
fx y

r 

2) Si , donde , , , calcular
u
= x yz
t

3) Si , donde .Calcular
z
= x y
=

Ejercicios:

1) Si , donde , . Calcule , en2) Siendo , donde , , , calcular
3) Encontrar , si , con , ,
4) Encontrar , si , ;
5) Encontrar y , si , donde
6) Encontrar si
a) , donde , ,
b) , donde , ,

7) Calcular para las siguientes funciones:
a) , con ,
b) , con ,
c) , con ,
d) , con ,
e) , con ,

8) Calcular , si , con , ,
9) Si , con , ,, . Calcular
10) Idem al ejercicio anterior si , con ,
11) Hallar si ,
12) Hallar , si donde ,
13) Hallar , , si , donde
14) Demostrar que si , donde , , , entonces y =0
15) Hallar , si , donde ,
16) Hallar si
a) , donde ,
b) , donde , ,
c) , donde ,
17) Hallar , , , si
a)
b)
c)
d)
18) Hallar todas derivadas parcialesde segundo orden de las siguientes funciones:
a)
b)
c)
d)
e)

Máximos y Mínimos.

1. Averiguar los extremos de la función: z =
Solución: Hallamos las derivadas parciales de primer orden

, igualamos estas ecuaciones a cero y formamos el siguiente sistema:



Resolviendo este sistema obtenemos cuatro puntos críticos: .Hallamos las derivadas de segundo orden:
y formamos el discriminante para cada uno de los puntos críticos:
a. Para
Luego , es decir, no hay extremo.
b. Para . Luego en este punto la función tiene un mínimo. Este mínimo es igual al valor de función cuando x=2, y=1, es decir:
c. Para No hay extremo
d. Para , por lo tanto en este punto la función tiene un máximo. Este máximo...