Matematicas

Cap´ ıtulo 2

PROBABILIDAD
2.1. Espacio muestral

Llamaremos espacio muestral (e.m.) asociado a un experimento aleatorio al conjunto de todos sus posibles resultados. Normalmente lo denotaremospor Ω. A los elementos de Ω les denominaremos sucesos elementales. Llamaremos suceso del e.m. Ω a cualquier subconjunto de Ω. El suceso Ω recibe el nombre de suceso seguro o cierto y ∅ es el sucesovac´ o imposible. ıo Dado un e.m. Ω llamaremos σ-´lgebra de sucesos de Ω a todo subconjunto F ⊆ P(Ω) tal que a a) Ω ∈ F b) A ∈ F =⇒ A ∈ F c) A1 , A2 , . . . ∈ F =⇒ ∪∞ An ∈ F n=1 Diremos que un suceso A∈ F ha ocurrido si el resultado del experimento es ω y ω ∈ A.

2.1.1.

Propiedades de una σ-´lgebra F a

∅∈F A1 , A2 , . . . ∈ F =⇒ ∩∞ An ∈ F n=1 A1 , A2 , . . . , An ∈ F =⇒ ∪n An ∈ F k=1 A1 , A2, . . . , An ∈ F =⇒ ∩n An ∈ F k=1 A, B ∈ F =⇒ A − B ∈ F Ejemplo 26 a) P(Ω) es la σ-´lgebra m´s grande sobre Ω a a b) {∅, Ω} es la m´ ınima σ-´lgebra sobre Ω a c) {∅, E, E, Ω} es la menor σ-´lgebra quecontiene al suceso E a d) Si Ω = I llamaremos σ-´lgebra de Borel B(I a la menor σ ´lgebra que contiene a todos los intervalos ]a, b[ R a R) a con a, b ∈ I R.

2.2.

Definici´n de probabilidad oDefinici´n como frecuencia relativa (Von Mises, 1883-1953) o Sea NA (n) el n´mero de veces que ha ocurrido el suceso A en n repeticiones del mismo experimento u aleatorio. Entonces la frecuenciarelativa de A es fA (n) = 31 NA (n) n

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y definimos P (A) = l´ fA (n) ım
n→∞

Definici´n Cl´sica (Laplace, 1812) Sea Ω = {ω1 , ω2 , . . . , ωn } un e.m. finito. Supongamos que los sucesos o aelementales sean equiprobables, es decir, 1 P ({ωi }) = = 1, . . . , n n para todo i Entonces definimos la probabilidad del suceso A como: P (A) = card(A) = c. favorables al suc.A n casos posibles •Definici´n Axiom´tica (Kolgomorov, 1933) Diremos medida de probabilidad o simplemente probabilidad o a sobre una σ-´lgebra F de un e.m. Ω a toda aplicaci´n a o P : F → [0, 1] tal que: a) P (Ω) = 1 b) Si...