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MATEMÁTICAS EJERCICIOS RESUELTOS DE TRIGONOMETRÍA

TIMONMATE Juan Jesús Pascual

TRIGONOMETRÍA A. Introducción teórica A.1 Razones trigonométricas de un triángulo rectángulo. A.2. Valores del seno, coseno y tangente para ciertos ángulos significativos (en grados y radianes). A.3. Significado geométrico de las razones trigonométricas en la esfera goniométrica. A.4. Relaciones entre las razonestrigonométricas. A.5. Resolución de triángulos: Teoremas del seno y del coseno. B. Ejercicios resueltos B.1. Razones trigonométricas. B.2. Ecuaciones trigonométricas. B.3. Problemas. A. INTRODUCCIÓN TEÓRICA

A.1 Razones trigonométricas de un triángulo rectángulo:

Las razones trigonométricas de un triángulo rectángulo son las siguientes funciones: La función seno, coseno, tangente, cosecante,secante y cotangente. Todas ellas pueden entenderse como relaciones entre los lados de un triángulo rectángulo. Veamos las expresiones de cada una de ellas referidas a los ángulos α y β del triángulo rectángulo aquí representado: a) Para el ángulo α: función seno a senα = c función cosecante 1 c cos ec α = = senα a función coseno b cos α = c función secante 1 c s ecα = = cos α b función tangentea tgα = b función cotangente 1 b cotgα = = tgα a

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b)

Para el ángulo β: función seno b senβ = c función cosecante 1 c cos ecβ = = senβ b función coseno a cos β = c función secante 1 c s ecβ = = cos β a función tangente b tgβ = a función cotangente 1 a cotgβ = = tgβ b

A.2. Valores del seno, coseno y tangente para ciertos ángulossignificativos (en grados y radianes)

ángulo 0º 30º 45º
0 rad
π rad 6 π rad 4

sen 0
1 2 2 2

cos 1 3 2 2 2

tg 0
1 3

ángulo π rad 60º 3 π rad 90 2 180º
π rad

sen 3 2 1 0

cos 1 2 0 –1

tg 3
∞

1

0

A.3. Significado geométrico de las razones trigonométricas en la esfera goniométrica Se llama circunferencia goniométrica a aquella que tiene por radio la unidad. Parauna circunferencia goniométrica es posible dar un sentido muy intuitivo a todas las razones trigonométricas. Vamos a verlo mediante el siguiente dibujo.

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A.4. Relaciones entre las razones trigonométricas a) Relaciones fundamentales: El seno, el coseno y la tangente de un ángulo están relacionados mediante la siguiente igualdad:
senθ= tgθ cos θ Por otro lado, se cumple la siguiente igualdad, estrechamente vinculada al teorema de Pitágoras:
sen 2 θ + cos 2 θ = 1 b) Relaciones del ángulo suma–diferencia: sen ( α ± β ) = senα ⋅ cos β ± senβ ⋅ cos α cos ( α ± β ) = cos α ⋅ cos β ∓ senα ⋅ senβ

tg ( α ± β ) =

tgα ± tgβ 1 ∓ tgα ⋅ tgβ

c) Relaciones del ángulo doble Es un caso particular del anterior en el que α y β soniguales. sen ( 2 α ) = 2senα ⋅ cos α
cos ( 2 α ) = cos 2 α − sen 2 α tg ( 2 α ) = 2tgα 1 − tg 2 α

d) Relaciones del ángulo mitad sen 2

α 1 − cos α = 2 2 α 1 + cos α = 2 2

cos 2

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tg 2

α 1 − cos α = 2 1 + cos α

A.5. Resolución de triángulos: Teoremas del seno y del coseno

Sea el siguiente triángulo. ¡No hace falta quesea rectángulo! Se verifican las siguientes dos expresiones, conocidas como teorema del seno y teorema del coseno. A c b

B a a b c = = senA senB senC

C

a) Teorema del seno:

b) Teorema del coseno: a 2 = b 2 + c 2 − 2bc cos A

B. EJERCICIOS RESUELTOS

B.1. Cálculo de razones trigonométricas

1. Sabiendo que senα = 0, 86 calcula las demás razones trigonométricas directas e inversasSolución: Las razones trigonométricas directas son el seno, el coseno y la tangente, y las inversas la cosecante, la secante y la cotangente. Vamos a relacionar todas ellas con el seno, que es el dato que nos dan:
•

senα = 0, 86

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•

El coseno se deduce a partir de la ecuación fundamental sen 2 θ + cos 2 θ = 1 :
sen 2 θ + cos...