matematicas

MATEMÁTICAS APLICADAS

UNIDAD IV CÁLCULO INTEGRAL

UNIDAD IV.- CÁLCULO INTEGRAL
En la práctica de cualquier campo científico es frecuente que se presenten problemas
relacionados con el cálculo de áreas, algunas veces de figuras regulares y muchas otras, con
el cálculo de figuras irregulares; dentro de las primeras se tiene el área de un rectángulo, un
triángulo, un cuadrado o un trapecio;dentro de las segundas se tiene el área superficial de una
piedra, el área bajo una parábola cúbica, etc. Calcular el área de figuras regulares no
representa ningún problema, más no así, calcular el área de figuras irregulares, las cuales se
aborda con el cálculo integral.
4.1.- INTEGRAL DEFINIDA
Considerando la siguiente gráfica, hagamos un análisis:
Y
y = f(x)

X1 X2 X3 X4

a

Xn-2Xn-1 b

X

f(x1)∆x+ f(x2)∆x+ f(x3)∆x … + f(xn)∆x
f(xi) es la altura del rectángulo y ∆x es la base del mismo,
la suma anterior se puede escribir como:
n

∑ f ( x )∆x
i

i =1

i

si esta suma tiene un valor límite cuando “n” tiende a infinito o “x” tiende a cero, entonces este
límite recibe el nombre de la integral definida que va desde “a” hasta “b”, y se escribe de la
siguientemanera:

∫

b

a

f ( x)dx

esto se lee así “la integral que va desde “a” hasta “b” de f de x dx”
Así tenemos que la integral definida de una función esta dada por:

Lim

n

∑ f ( x )∆x = ∫
i =1

i

i

b

a

f ( x)dx

siempre que el límite de la derecha exista

n→∞

M.C. JESÚS ENRIQUE LÓPEZ AVENDAÑO

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En la definición anterior, a los números a y b se les llama límites de integración inferior y
superior respectivamente. El símbolo de la integral es una “s” alargada por su relación con la
palabra “suma”.
En esencia el cálculo integral es un método para determinar la distancia recorrido cuando se
conoce la velocidad. Esto es evidentemente el problema inverso de la derivada, lo cual seinterpreta geométricamente como el área que se describe bajo la gráfica de una curva.
Concepto de Antiderivada
En el cálculo integral se estudia lo siguiente:
“Dada una función f, encontrar otra función g cuya derivada sea la función f dada.”
Así que, para una función dada f, se desea encontrar otra función g para la cual

dg ( x)
= f ( x) para todo x en cierto intervalo.
dx
EjemplosEjemplo No. 1
Sea una función determinada f(x) = 2x. Encontrar una función g cuya derivada sea igual a f(x)
Sea f(x) = 2x entonces la función cuya derivada sería igual a f(x) es g(x) = x2. La anterior es la
función buscada puesto que

dg ( x) d 2
=
x = 2x
dx
dx

Ejemplo No. 2
Sea f la función determinada por f(x)=3x2. Encontrar la función g cuya derivada sea igual a f(x)
g(x) seríaigual a x3 puesto que

dg ( x) d 3
=
x = 3x 2
dx
dx

En los ejemplos anteriores se encontraron dos funciones g a las cuales al determinar su
respectiva derivada se encuentra la primera función dada, es decir, se encontró la
“antiderivada” de la función f, de ahí que se está en posibilidades de expresar una definición
que satisfaga lo anterior.
“Se dice que g es una antiderivada de unafunción f, si la derivada de la función g es igual a la
función f en algún intervalo”.
La integración es el proceso mediante el cual es posible obtener la antiderivada de una
función.
Para determinar la integral de xn, se aplicaría la regla opuesta de la derivada que dice
“aumentar el exponente en 1 y dividir el valor resultante entre el nuevo exponente n+1, así
tendríamos que la integraldefinida para xn en [0,b] está representada por:
x toma el valor de b

∫

b

0

x n dx =

b n +1
n +1

de tal manera que:

M.C. JESÚS ENRIQUE LÓPEZ AVENDAÑO

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∫

b

∫

b

∫

b

∫

b

0

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dx = b

0

0

0

b2
xdx =
2
b3
x dx =
3
2

x 3 dx =

b4
4

en todos los casos se observa que...