Matematicas

Informe de Matemáticas


Tema: Rotación y traslación de ejes







Rotación de ejes
Cambio de la orientación de los ejes de referencia mientras se conserva el origen.La principal razón para rotar los ejes es que una ecuación dada es mucho más simple en el nuevo sistema de coordenadas que en el sistema original.

Si los ejes originales x y y rotan en sentidocontrario al reloj un ángulo , para cualquier punto P(x, y), las coordenadas originales (x, y) se convierten en las nuevas coordenadas (x ´, y ´), que son:
x ´ = x cos + y sen
y´ = - x sen + y cosPara derivar la ecuación en las nuevas coordenadas, necesitamos expresar las coordenadas originales en las nuevas coordenadas:
x = x ´ cos - y ´ sen
y = x ´ sen + y cos
Como ejemplo de rotación,considera una ecuación simple y = x + 21/2, que es una línea. Si los ejes originales x e y rotan en sentido contrario al reloj un ángulo de 45°, las coordenadas originales se pueden expresar como:
x =x ´ cos 45° - y ´ sen 45°
y = x ´ sen 45° + y ´ cos 45°

Por lo tanto,
x = x ´ (21/2/2) - y ´ (21/2/2)
y = x ´ (21/2/2) + y ´ (21/2/2)
Entonces, la ecuación y = x + 21/2 se convierte en:
x ´(21/2/2) + y ´ (21/2/2) = x ´ (21/2/2) - y ´ (21/2/2) + 21/2
y ´ = 1
En las nuevas coordenadas, la ecuación es una línea paralela al eje x ´, +1 unidad separada del eje x ´.

Ejercicio:Transformar la ecuación x2 - 2xy + y2 - 8x - 8y = 0, girando los ejes un ángulo de 45°.
SOLUCIÓN
Sustituyendo en las ecuaciones de rotación de ejes se obtiene:
x = x' cos - y' sen
x = x' cos 45° - y' sen45°
y = x' sen + y' cos
y = x' sen 45° + y' cos 45°
Para simplificar las ecuaciones anteriores recordaremos el valor del seno y coseno de 45°:
sen 45° =
cos 45° =
Las ecuaciones anteriores setransforman en:

Sustituyendo en la ecuación dada:

Desarrollando y aplicando las propiedades de los radicales:

Simplificando:
2y'2 - 16x' = 0
2y'2 = 16x'
Dividiendo por 2
y'2 = 8x'...