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MATEMÁTICAS II

APLICACIONES DE LA DERIVADA
1. RECTA TANGENTE A UNA CURVA y  f (x) La pendiente de la recta tangente a una función en un punto x0 es el valor de la derivada de la función en ese punto pendiente  f ( x0 ) , así la ecuación de la recta tangente a una curva en un punto x0 es y  f ( x0 )  f ( x0 )  ( x  xo )

f ( x)  x 2  x

y   x , recta tangente

en x0  0 .2. INFORMACIÓN EXTRAIDA DE LA PRIMERA DERIVADA Observa la gráfica siguiente y ten en cuenta la relación entre derivada en un punto y la pendiente de la recta tangente a la curva en ese punto.

2.1. RELACIÓN ENTRE CRECIMIENTO Y DERIVADA

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f (x) f (x)

derivable y creciente en x0  f ( x0 )  0 derivable y decreciente en x0  f ( x0 )  0

Ejemplo:

y  x 3 esderivable en todo R y su derivada es y  3x 2 . La gráfica es

se observa que en x0  0 la función es creciente (de hecho, es creciente en todo su dominio), luego la derivada en ese punto tendrá que ser mayor o igual a 0. Efectivamente f (0)  0  0 ( f ( x)  0 para todo x) 2.2. CRITERIO PARA DECRECIENTES IDENTIFICAR INTERVALOS CRECIENTES O

f ( x)  0  f es creciente f ( x)  0  f esdecreciente

2.3. MÁXIMOS Y MÍNIMOS RELATIVOS

2.3.1. CONDICIÓN NECESARIA DE MÁXIMO O MÍNIMO RELATIVO Si f (x) es derivable en x0 , entonces

f (x) tiene un máximo o un mínimo en x0

 f ( x0 )  0

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Sin embargo no es una condición suficiente, porque puede ocurrir que la derivada en un punto valga 0 y que no haya máximo ni mínimo , como en x0  0 en el ejemplo y  x 3.

2.3.2. REGLA PARA SABER SI UN PUNTO SINGULAR ES MÁXIMO O MÍNIMO RELATIVO Para saber si un punto singular (puntos que anulan la derivada) es máximo o mínimo relativo de una función estudiaremos el signo de la derivada primera de la función. Ejemplo:

y  x 3  27 x

Si

y  3x  27  3  x  9  3  x  3 x  3
2 2

calculamos



su



derivada

y

estudiamosel

signo

se

tiene,


3

x  3 x  3
y

3 + +

- -3 3 + + -

3



+ + + +

Signo

Luego podríamos decir que la función  crece en  ,3  3,   decrece en  3,3 Así que hay un máximo relativo en  3, f (3)  y un mínimo relativo en 3, f (3)  como se observaba en la gráfica.

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3. INFORMACIÓN EXTRAIDA DE LA SEGUNDA DERIVADA Unafunción es cóncava en un intervalo si la rectas tangentes a la función en ese intervalo están por debajo de la función. Una función es convexa en un intervalo si la rectas tangentes a la función de ese intervalo están por encima. La denominación de convexidad y concavidad depende del punto de vista que se adopte para considerar que es una concavidad, esto es si se mira a la función "desde arriba"o "desde abajo". Por ello, es frecuente que en ocasiones se adopten las denominaciones cóncava hacia arriba y cóncava hacia abajo para evitar las ambigüedades. Los puntos donde la función cambia de curvatura se llaman puntos de inflexión. 3.1. RELACIÓN DE LA CURVATURA CON LA SEGUNDA DERIVADA Si observamos la gráfica siguiente veremos que cuando la función es cóncava las pendientes de las rectastangentes (las derivadas) tienen un valor cada vez más grande, y cuando es convexa cada vez menor.

Criterios de concavidad o convexidad:  Por la primera: derivada

a. Si una función es cóncava las pendientes de las tangentes aumentan (f´ es creciente). b. Si una función es convexa las pendientes de las tangentes disminuyen (f´ es decreciente).  Por la derivada segunda: Si f es cóncava haciaarriba  entonces f´ creciente, por lo tanto f´´  0 Si f es cóncava hacia abajo  entonces f´ decreciente, por lo tanto f´´  0

Si f x  es derivable en x0 y tiene un punto de inflexión en x0  f x0   0

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3.2. CRITERIO PARA IDENTIFICAR INTERVALOS CÓNCAVOS Y CONVEXOS Si una función es derivable dos veces, se tiene

f ( x)  0  f es cóncava f ( x)  0  f...
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