Matematicas

DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA APLICADA A LAS TECNOLOGÍAS DE LA INFORMACIÓN
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FUNDAMENTOS MATEMÁTICOS IV Hoja de problemas, parte 3 – Métodos numéricos
24. a)Construya un método numérico unipaso para la resolución del problema de valor inicial y ′ = f ( x, y ), y ( x0 ) = y 0 que, para avanzar la solución desde xi hasta xi +1 = xi + h , tome como pendientede la función la media de las pendientes en xi + (h / 3) y en xi + (2h / 3) , y que, para la estimación de y ( xi + (h / 3)) e y ( xi + (2h / 3)) , utilice el método de Euler básico aplicado en amboscasos desde xi (es decir, con longitudes de paso h/3 y 2h/3, respectivamente). b) Escriba el algoritmo resultante en forma de método de Runge-Kutta yi +1 = yi + a1k1 + a 2 k 2 + ... + a r k r , donder es el número de etapas. ¿Cuál es el número de etapas del método? c) Haga una modificación del método numérico anterior para obtener una aproximación más exacta de la solución, estimando y ( xi +(2h / 3)) con el método de Euler básico pero aplicado ahora en dos pasos: el primero, con longitud de paso h/3, para calcular la estimación de y ( xi + (h / 3)) a partir de la de y ( xi ) , y elsegundo, nuevamente con longitud paso h/3, para calcular la estimación de y ( xi + (2h / 3)) a partir de la y ( xi + (h / 3)) . d) Escriba el algoritmo resultante en forma de método de Runge-Kutta yi +1 = yi+ a1k1 + a 2 k 2 + ... + a r k r , donde r es el número de etapas. ¿Cuál es el número de etapas de este nuevo método? e) Analice, para los dos algoritmos anteriores, cuál sería el número deevaluaciones de f ( x, y ) necesarias, en cada paso, para estimar el error de discretización local mediante las dos siguientes técnicas: i. Utilización del mismo método, pero con la mitad de longitud de...