Matematicas

5 Integrales Impropias
INTEGRAL IMPROPIA
En cálculo, una integral impropia es el límite de una integral definida cuando uno o ambos extremos del intervalo de integración se acercan a un númeroreal específico, a ∞, o a −∞.
“Si la función f al ser integrada de a a c tiene una discontinuidad en c, especialmente en la forma de una asíntota vertical, o si c = ∞, entonces la integral
Puede sermás conveniente redefinirla de la siguiente forma:
En algunos casos, la integral de a a c ni siquiera está definida, puesto que las integrales de la parte positiva y negativa de f(x) dx entre a y cson ambas infinitas, sin embargo el límite puede existir. Estos casos corresponden a las llamadas “integrales impropias”, es decir, aquellas cuyos valores no pueden definirse excepto como límites.La integral
puede interpretarse como
pero desde el punto de vista del análisis matemático no es obligatoriointerpretarla de tal manera, ya que puede interpretarse como una integral de Lebesguesobre el intervalo (0, ∞). Por otro lado, el uso del límite de integrales definidas en intervalos finitos es útil, aunque no sea como forma de calcular su valor.
En contraste al caso anterior,
nopuede ser interpretada como una integral de Lebesgue, ya que
Ésta es una “verdadera” integral impropia, cuyo valor está dado por
Llamamos singularidades de una integral impropia a los puntos de larecta extendida de números reales en los cuales debemos utilizar límites.
Tales integrales son frecuentemente escritas en forma simbólica de igual forma que una integral definida, utilizando uninfinito como límite de integración. Esto no hace más que “ocultar” el debido proceso de calcular los límites de la integral. Utilizando la más avanzada integral de Lebesgue en lugar de una integral deRiemann, uno puede a veces evitar tal operación. Pero si sólo se desea evaluar el límite para obtener un valor definido, tal mecanismo pudiera no resultar de ayuda. El concepto de integral de Lebesgue es...