Matematicas

Continuidad de una función en un punto
Se dice que una función f(x) es continua en un punto x = a si y sólo si se cumplen las tres condiciones siguientes:
1. Que el punto x= a tenga imagen.∃fa
2. Que exista el límite de la función en el punto x = a.
∃limx→afx↔limx→a-f(x)=limx→a+f(x)
3. Que la imagen el punto coincida con el límite de la función en el punto.
fa=limx→af(x)Ejemplo:
Estudiar la continuidad fx= x2 si &x<24 si &x≥2 de en x =2
f2=4

limx→2-x2=4

limx→2fx=4

limx→2+4=4

f2=limx→2f(x)

Funciones continua y discontinua
Una función escontinua si su gráfica puede dibujarse de un solo trazo, es decir, si no presenta puntos de discontinuidad.
Una función es discontinua si tiene puntos en los cuales una pequeña variación de la variableindependiente produce un salto en los valores de la variable dependiente. A estos puntos se les denomina puntos de discontinuidad.
Los puntos de discontinuidad pueden ser de dos tipos:
* Puntosen los que la función no está definida, es decir, los puntos que no pertenecen al dominio de la función, gráfica a.

* Puntos en los que la gráfica presenta un salto, gráfica b.

Punto deDiscontinuidad.
Un punto x=a es un punto de discontinuidad de la función y = f(x), si la función no es continua en dicho punto.
Por lo estudiado en los capítulos anteriores, se deduce que una funciónes discontinua en un punto si ocurre cualquiera de los siguientes problemas:
1. Que la función no esté definida en el punto.
2. Que no tenga límite en el punto.
3. Que esté definida,tenga límite en el punto, pero que el valor de la función no coincida con el valor del límite.
Estas situaciones dan lugar a la siguiente clasificación de discontinuidades.

Discontinuidad EvitableSi una función tiene límite en un punto, pero la función en ese punto tiene un valor distinto:

limx→afx=L
Discontinuidad Evitable
fa≠L

O no existe:...