matematicas

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UNIVERSIDAD SIMÓN BOLÍVAR
Ciclo de Iniciación Universitaria

Capítulo 1
Teoría de Conjuntos

TOMADO CON FINES
INSTRUCCIONALES:
Universidad Simón
Bolívar: Ciclo de
Iniciación Universitaria.
Guía de Matemática 1.
(págs. 64). [Consulta en
Línea]. Junio 2011.

Por un conjunto entendemos cualquier colección de objetos bien definidos.
Son ejemplos de conjuntos:
(i) el conjunto detodos los números reales positivos,
(ii) el conjunto de todos los estudiantes de la Sede del Litoral de la USB,
(iii) el conjunto de todos los países que han sido campeones mundiales de fútbol.
Los objetos que integran un conjunto, se denominan elementos del conjunto.

1.1 Notación
Por lo general se usan letras mayúsculas para representar a los conjuntos, y letras
minúsculas pararepresentar sus elementos. Si A es un conjunto y a, b, c, d, e son sus
elementos, escribimos A = {a, b, c, d, e} para definir al conjunto A. Esta manera de
definir al conjunto, nombrando explícitamente cada uno de sus elementos, se
denomina definición por extensión. Si un conjunto A está definido mediante una
propiedad P(x) que deben cumplir sus elementos x, escribimos A = {x: P(x)}, donde “:”
se lee“tal que". Esta forma de definir un conjunto se denomina definición por
comprensión.
Así, por ejemplo, el conjunto A = {1, 2, 3, 4, 5} puede definirse por comprensión como
A = {x: 1 ≤ x ≤ 5, x ∈ 2 N}, siendo N el conjunto de los enteros positivos.

1.2 Pertenencia, inclusión e igualdad de conjuntos
Para señalar el hecho de que un objeto x es miembro de un conjunto A, se empleará
la notaciónx∈ A
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Indicaremos que el objeto x no es miembro de A, escribiendo x ∉ A.

Ejemplos:
1) 2 ∈ {1, 2, 3}
2) Brasil ∈ {x: x es campeón mundial de fútbol}
3) 4 ∉ {x: x 2 – x – 2 = 0}

Dos conjuntos A y B son iguales si contienen los mismos elementos, denotándose
este hecho por A = B, es decir x ∈ A si ysolamente si x ∈ B. Esto significa que la
igualdad de conjuntos no depende de cómo estén definidos los conjuntos, sino de si
tienen o no los mismos elementos.
Otra importante noción es la de inclusión de conjuntos.
Sean A y B conjuntos. Decimos que A está incluido en B si y solamente si cada
elemento de A es elemento de B, es decir, si x ∈ A entonces x ∈ B. Usaremos la
Notación A ⊆ B parareferirnos a esta situación y diremos que A es un subconjunto
de B. Obsérvese que todo conjunto A es subconjunto de sí mismo. Cualquier
subconjunto de A que sea diferente de A, es llamado subconjunto propio de A. Así,
si B es un subconjunto propio de A, escribiremos B ⊂ A.

Ejemplos:
1) {1, 2, 3} ⊂ {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8}
2) {x: x vive en Caracas} ⊂ {x: x vive en Venezuela}
3) {x: x es unentero} ⊂ {x: x es un número racional}
La relación A ⊆ B no excluye la posibilidad de que B ⊆ A. Si ambas relaciones se
dan simultáneamente, los conjuntos tienen los mismos elementos y se dice que son
iguales, lo cual se denota por A = B. Es decir,
A = B si y solamente si A ⊆ B y B ⊆ A

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1.3 Elconjunto vacío
Consideremos el conjunto {x: x ≠ x}, es obvio que este conjunto carece de elementos.
Un conjunto como el anterior que no contiene elementos es llamado conjunto vacío, y
es denotado por Ø. Observe que el conjunto Ø es subconjunto de cualquier conjunto.

Ejemplos:
1) {x: x = 1 y x ≠ 1} = Ø
2) {x: x es un entero y 0 < x < 1} = Ø
3) {x: x es un número real y x 2 + 1 = 0} = Ø
Elconjunto formado por todos los subconjuntos de uno dado A se llama partes de A,
y se denotará ρ(A).
Entonces la relación B ⊆ A es equivalente a decir B ∈ ρ (A).

Ejemplos:
1) Si A = {a, b}, entonces ρ (A) = {Ø, {a}, {b} ,A}
2) Si a ∈ A entonces {a} ∈ ρ (A)

1.4 Unión e intersección de conjuntos
Consideremos dos conjuntos cualesquiera A y B. Denotamos por A ∩ B al conjunto de
todos...