Matematicas

Transformaciones Lineales
Definición: sean V y W espacios vectoriales. Una transformación lineal L de V en W es una función que asigna a cada vector u en V un único vector L(u) en W tal que:
a)L(u+v) = L(u) + L(v) cualesquiera que sean u y v en V.
b) L(ku) = kL(u), para cada u en V y cada escalar k.
Transformaciones Lineales:
Proyección: L: R3→R2, definida como L(x, y, z) = (x, y)Dilatación: L: R3→R3, definida como L(u) = ru, r ›1
Contracción: L: R3→R3, definida como L(u) = ru, 0 ‹ r ‹ 1
Reflexión: L: R2→R2, definida como L(x, y) = (x, -y)
Rotación: L: R2→R2, definida comoL(u)=u
Inclinación (corte) en dirección x: L: R2→R2, definida como L(u)=u
Donde k es un escalar
Inclinación (corte) en dirección y: L: R2→R2, definida como L(u)=u
Donde k es un escalarPropiedades de las transformaciones lineales
Sean V y W espacios vectoriales sobre K (donde K representa el cuerpo) se
satisface que:

* T : V → W=T (0V ) = 0W
* ∀X ∈ V; T : V → W=T (−X) = −T(X)* ∀X ∈ V; T : V → W=T (X − Y ) = T(X) − T(Y )
* ∀a; b ∈ R; ∀X; Y ∈ V ⇒ T : V → W=T (aX + bY ) = a T(X) + bT (Y )

Ejemplos:
Proyección
Dilatación
Contracción
Reflexión
En R2 se define unafunción T mediante la fórmula T(x, y) = (x, -y). geométricamente, T toma un vector en R2 y lo refleja con respecto al eje x. esto se ilustra en la figura. Una vez que se ha dado la definición básica,se verá que T es una transformación lineal de R2 en R2.
el vector (x, -y) es la reflexión respecto al eje x del vector (x, y).
Rotación
Suponga que el vector v=(x, y) en el plano xy se rota unángulo θ (medido en grados o radianes) en sentido contrario a las manecillas del reloj. Llame a este nuevo vector rotado v’=(x’, y’). entonces, como se ve en la figura, si r denota la longitud de de v(que no cambia por la rotación).

x= rcosα y=rsenα
x’=rcos(θ+α) y’=rsen(θ+α)

(x’, y’) se obtiene rotando (x, y) un ángulo θ.
Pero rcos(θ+α) = r cosθ cosα – r senθ senα, de manera que
x’=...