Matematicas

Universidad metropolitana Castro Carazo
Sede Palmares

Tema: Funciones
Curso: Matemáticas Discretas 1
Profesor: José Francisco Córdoba
Alumno: Cesar Vargas Gutiérrez

II cuatrimestre 2009
Funciones
Las funciones son relaciones entre dos conjuntos, endonde el conjunto emisor debe ser el dominio y además los elementos del conjunto de salida deben tener una sola imagen. Esto es natural ya que en nuestro entorno es importante relacionar, por ejemplo: a cada persona con un único peso, edad, número de seguro social, carné universitario, entre otros, donde las variables relacionadas son personas con datos discretos y no continuos.
1. Sea F unafunción de A en B. Sea E c A y F c B. entonces el conjunto definido por:
fA= b∈B / ∃a∈ A tal que b=fa se llama ambito o imagen de f.
El conjunto definido por :
fE= b∈B / ∃a∈ E tal que b=fa se llama
imagen directa de E por f.

Por ultimo el conjunto definido por:
f-1F= a∈A / ∃b∈ F tal que b=fa se llama la imagen inversa de F por f.
Ejemplo:Sea A: {I, 2, 3,7}, defina Ia función f: A → N cuyo
Criterio es f (n) =3n-2. Calcule eI ámbito de f, el gráfico de f y la
Imagen inversa de {-2,0, 1, 7}.
Solución. Para calcular el ámbito f, se evalúa la función en los
Cuatro elementos del dominio: f (1) = 1, f (2)=4, f (3) =7,
f (7)=19, Con lo cual el rango es f (A)= {1, 4, 7,19}, el gráfico de f es Gf = {(1, 1), (2,4),(3,7), (7,19)} .Por último, f-1 ({-2, 0, 1,7}) = {1, 3}.
Así como las funciones lineales, cuadráticas y constantes, en el campo
de las matemáticas existe gran cantidad de funciones específicas. Para el desarrollo del tema, a continuación, definiremos algunas de ellas.

2. La función factorial de n f: N→N definida por fn=n! donde
n!=n∙n-1∙n-2∙∙∙∙3∙2∙1 y además define 0!=1.
Se puededefinir de forma recursiva por medio de la igualdad:
n!= n. (n- 1)!.

Ejemplo:
Algunos valores de la función factorial son3! =3.2.1 = 6,
5! = 5.4.3. 2.1= 120.

3. La función f: R→Z definida por fx=n donde n es el entero que satisface n≤x<n+1, se llama función parte entera o la función parte piso.

4. Sean A y B conjuntos no vacios. Una función f de A en B es una relación de A en Btal que:
* Df =A es decir el dominio es el conjunto emisor.
* Si (a, b) y (a,c) pertenecen al grafico de f entonces b = c, es decir cada elemento de A se relaciona con un único elemento de B.

5. Una función f de A en B, consecuente con la notación de relaciones,
Se representar como f= Gf,A,B.
Si (a, b) pertenece al gráfico de f, decimos que b es la imagen de a
Por f yescribimos b = f(a). Análogamente, decimos que a es una
Preimagen de b Por f.
Ejemplo:
Si f: R →R con f (x): x2+1, se tiene que f (1)=2, es decir, 2 es la imagen de 1 por la función f. Además, f (3) = l0, con lo cual, 3 es una preimagen de 10 por la función f.

6. Sea f una función de A en B, si existe un elemento k∈B tal que ∀x∈A se tiene que f(x)=k, entonces se dice que f es la funciónconstante de valor k.
Ejemplo:
Si f: {0, 2, 3,5} → {1, 2, 3, 4, 5,6}, la función constante
de valor 3 tiene como grafico a Gf = {(0,3), (2,3), (3,3), (5,3)}.

7. Sea f una función de A en A, tal que f(x) = x, ∀x∈A, entonces se dice que f es la función identidad de A y se denota por idA.
Ejemplo:
Si f: {0, 2, 3,5} → {0, 2, 3,5}, la función identidad sobre
este conjunto tiene como graficoa Gf: {(0,0), (2,2), (3,3), (5,5)}.

8. Si Ep(m) denota el exponente del primo p en la factorización prima de m , entonces:
Epn!= np+np2+∙∙∙+npk+∙∙∙
Donde la suma es finita, pues es claro que a partir de algún s la potencia ps será mayor que n y los términos sucesivos serán cero.
Ejemplo:
Determine el exponente del factor 3 en la factorización
prima del número 85!
Solución. Sabemos...