Matematicas

Límites (una introducción)

Aproximarse

A veces algo no se puede calcular directamente... ¡pero puedes saber cuál debe de ser el resultado si te vas acercando más y más!
Usemos por ejemplo esta función:
(x2-1)/(x-1)
Y calculemos su valor para x=1:
(12-1)/(1-1) = (1-1)/(1-1) = 0/0
¡Pero 0/0 es un problema! En realidad no podemos saber el valor de 0/0, así que tenemos que encontrar otramanera de hacerlo. En lugar de calcular con x=1 vamos a acercarnos poco a poco:
|x |(x2-1)/(x-1) |
|0.5 |1.50000 |
|0.9 |1.90000 |
|0.99 |1.99000 |
|0.999 |1.99900 |
|0.9999|1.99990 |
|0.99999 |1.99999 |
|... |... |


Vemos que cuando x se acerca a 1, (x2-1)/(x-1) se acerca a 2
Ahora tenemos una situación interesante:
• Cuando x=1 no sabemos la respuesta (es indeterminada)
• Pero vemos que va a ser 2
Queremos dar la respuesta "2" pero no podemos,así que los matemáticos usan la palabra "límite" para referirse exactamente a estas situaciones
El límite de (x2-1)/(x-1) cuando x tiende (o se aproxima) a 1 es 2
Y con símbolos se escribe así:
[pic]
Así que es una manera especial de decir "ignorando lo que pasa al llegar, cuando te acercas más y más la respuesta se acerca más y más a 2"
|En un gráfico queda así:|  |[pic] |
|Así que en realidad no puedes decir cuánto vale en x=1. | | |
|Pero sí puedes decir que cuando te acercas a 1, el límite es 2. | | |

Probemos por el otro lado:
|x|(x2-1)/(x-1) |
|1.5 |2.50000 |
|1.1 |2.10000 |
|1.01 |2.01000 |
|1.001 |2.00100 |
|1.0001 |2.00010 |
|1.00001 |2.00001 |
|...|... |


También va hacia 2, así que todo está bien

Cuando es distinto en los dos lados

Pero y si tenemos una función "f(x)" con un "salto" así:
|[pic] |  |¡En esta función el límite no existe en "a" ... ! |
| | |No puedesdecir cuál es, porque hay dos respuestas |
| | |contradictorias: |
| | |3.8 por la izquierda, y |
| | |1.3por la derecha |
| | |Pero sí puedes usar los signos "-" o "+" (como en el |
| | |dibujo) para definir los límites laterales: |
| ||el límite por la izquierda (-) es 3.8 |
| | |el límite por la derecha (+) es 1.3 |
| | |Y el límite ordinario "no existe" |


¿Los límites sólo son para funciones difíciles?

¡Los...