matematicas

Polinomios: Suma, resta y multiplicación.

Preliminares:
En esta sección trabajaremos con los siguientes temas:
I. Polinomios.
A) Definiciones básicas: grado, coeficiente, término
B) Suma y resta.
C) Multiplicación.

Como los polinomios son expresiones algebráicas, el lector que así lo necesite
puede repasar las nociones básicas sobre éste tema en la sección Repaso de Álgebra
de estaserie. A continuación nombramos los conceptos sobre expresiones algebráicas
que el usuario debe conocer.
Definición
Evaluación
Dominio

I. Polinomios.
Definición: Un polinomio de grado n en una variable, digamos la variable x ,
es una expresión algebraica de la forma:
Px = a n x n + a n−1 x n−1 +. . . +a 2 x 2 + a 1 x + a 0
donde a n , a n−1 , ..., a 2 , a 1 y a 0 son números realesfijos con a n ≠ 0 y n es un
entero no negativo.

En esta definición a n , a n−1 , ..., a 2 , a 1 y a 0 son los coeficientes (numéricos) de Px ,
a n x n es el término líder y a 0 es el término constante.

Nota: Un número es un polinomio constante. Los polinomios constantes tienen grado
cero exepto el polinomio cero al cual no se le define grado.

Ejemplo 1.
En Px = 5x 3 + 7x 2 + 43 x + 8el grado n es 3 , a 3 = 5 , a 2 = 7 , a 1 = 43 y a 0 = 8 . Además
el término líder es 5x 3 y el término constante es 8 .
En Nx = 2x 5 − 10x 4 + 9x
el grado n es 5 , a 5 = 2 , a 4 = −10 , a 3 = a 2 = 0 , a 1 = 9 y a 0 = 0 . Además

el término líder es 2x 5 y el término constante es 0 .

Suma y resta de polinomios.

A los sumandos de un polinomio también se les llama términos (omonomios). Dos o más
términos en la misma variable con el mismo grado son semejantes
La suma se dos o más términos semejantes se puede simplificar usando la propiedad
distributiva de la multiplicación con respecto a la suma. Cuando hemos efectuado esta
operación decimos que hemos combinado los términos semejantes. A continuación
enunciamos la regla general usada.
ax n + bx n = a + bx nEjemplo 2. Simplificar.

a) 3x 4 + 5x 4
solución: 3x 4 + 5x 4 = 3 + 5x 4 = 8x 4
b) −4x 3 + 7x 3 + 2x 3
solución: −4x 3 + 7x 3 + 2x 3 = −4 + 7 + 2x 3 = 5x 3
3
c) x 6 − 4 x 6 + 2x 6 + 3x 6 − 56 x 6
solución:
x 6 − 34 x 6 + 2x 6 + 3x 6 − 56 x 6 = 1 − 34 + 2 + 3 − 56 x 6 =  12−9+24+36−10
x 6 =
12

53
12

x6

Para sumar y/o restar múltiplos de polinomios usamos la propiedaddistributiva
y combinamos los términos semejantes.

Ejemplo 3. Simplificar.

a) 43x 2 − 5x + 1 + 2x 4 − 4x 2 − 6x + 3
= 12x 2 − 20x + 4 + 2x 4 − 8x 2 − 12x + 6 = 2x 4 + 12 − 8x 2 − 20 + 12x + 4 + 6
= 2x 4 + 4x 2 − 32x + 10
b) 5−x 2 + 2x + 3 − 4x 2 − 6x + 22
= −5x 2 + 10x + 15 − 4x 2 + 6x − 22 = −9x 2 + 16x − 7
3
c) 35x + 4x 2 − 8x + 9 − 2−3x 4 − 13x 3 − 8x 2 + 6x + 3 + 3x 2 +5x + 1
= 15x 3 + 12x 2 − 24x + 27 + 6x 4 + 26x 3 + 16x 2 − 12x − 6 + 3x 2 + 5x + 1
= 6x 4 + 15 + 26x 3 + 12 + 16 + 3x 2 + −24 − 12 + 5x + 27 − 6 + 1
= 6x 4 + 41x 3 + 31x 2 − 31x + 22

Multiplicación de polinomios.

Para obtener el producto de dos monomios o términos en la misma variable multiplicamos
los coeficientes numéricos y sumamos los exponentes de la variable. Ver lasiguiente regla.
ax n bx m  = abx n+m

Ejemplo 4. Simplificar.

a) 7x 2 3x 4 
= 7 × 3x 2+4 = 21x 6
b) −5x 4 2x 8 
= −5 × 2x 4+8 = −10x 12
c) 2. 3x 3. 02x
= 2. 3 × 3. 02x 7+1 = 6. 946x 8
7

El producto de un monomio por un polinomio se obtiene usando la ley distributiva y
aplicando la regla para el producto de dos monomios. Veamos los siguientes ejemplos.Ejemplo 5. Simplificar.

a) 4x 3 3x 2 − 5x + 1
= 4x 3 3x 2  − 4x 3 5x + 4x 3 1 = 12x 5 − 20x 4 + 4x 3
b) −3x 2 x 4 − 4x 2 − 6x + 3
= −3x 2 x 4  − 3x 2 −4x 2  − 3x 2 −6x − 3x 2 3
= −3x 6 + 12x 4 + 18x 3 − 9x 2
c) 5x−3x 4 − 13x 3 − 8x 2 + 6x + 3
= 5x−3x 4  − 5x13x 3  − 5x8x 2  + 5x6x + 5x3
= −15x 5 − 65x 4 − 40x 3 + 30x 2 + 15x

El producto de dos polinomios se...