Matematicas

1. numeros naturales, definición.
Un numero natural esta definido como todo numero entero positivo (1,2,3,4,….) o como todo numero entero no negativo (0,1,2,3,4,…. . ) Algunos matemáticos especialmente los de Teoría de Números, prefieren no reconocer el cero como un número natural, mientras que otros, especialmente los de Teoría de Conjuntos, lógica e, informática, tienen una postura opuesta.Los números naturales son usados para dos propósitos; para describir la posición de un elemento en una secuencia ordenada, como se generaliza con el concepto de ordinal, y para especificar el tamaño de un conjunto finito, que a su vez se generaliza en lo concepto de lo cardinal. En el mundo de lo finito estos dos conceptos son coincidentes, los ordinales finitos son iguales a N así como locardinales finitos.
Los axiomas de Peano o postulados de Peano definen de manera exacta el conjunto de los números naturales N. fueron establecidos por Peano (1858 − 1932), matemático italiano en el siglo XIX. Básicamente los naturales se pueden construir a partir de 5 axiomas fundamentales:
1. 1 es un número natural, es decir, el conjunto de los números naturales no es vacio.
2. Si a es unnumero natural, entonces a 1 también es un numero natural llamado el sucesor de a.
3. 1 no es sucesor de ningún numero natural (primer elemento del conjunto).
4. Si hay dos números naturales a y b tales que sus sucesores don diferentes, entonces a y b son números naturales diferentes.
5. Axioma de inducción: si un conjunto de números naturales contiene a 1 y a los sucesores de cada unode los elementos, entonces contiene a todos los números naturales.
2. Orden de los números naturales
Los números naturales pueden representarse como puntos en la semirrecta, y la flecha indica que dado cualquier número natural, le sigue siempre otro número natural más grande. Como consecuencia el conjunto de los números naturales es infinito.
Obsérvese que el cero en la figura esconsiderado como numero natural

0 1 2 3 4 5 6 7
Dados dos números naturales a y b, se dice que es “a menor que b” (a < b), si existe un numero natural c diferente a 0, tal que b menos a es igual a c. por ejemplo: 2 es menor q 7, porque 7 − 2 es igual a 5 y 5 > 0.
También se dice que “a es mayor que b” (a < b), si existe un numero natural c ≠ 0, tal que a − b= c. Por ejemplo: 6 > 3 porque 6 − 3 = 3 y 3 > 0.
Los números naturales están bien ordenados, ya que dado cualquier subconjunto de números naturales, es posible ordenarlo de menos a mayor o de mayor a menor.
Por ejemplo, el conjunto {458,23,66,159,13,5,840,1657}, se puede ordenar de menor a mayor de la siguiente forma {5,13,23,68,159,458,840,1657}.
3._ operación de los números naturalesEn matemática una operación es la acción de un operador sobre una elección de elementos de un conjunto. El operador toma los elementos iníciales y los relaciona con otro elemento de un conjunto final que puede ser de la misma naturaleza o no; esto se conoce técnicamente como ley de composición. Cuando un operador actúa sobre dos elemento de un conjunto inicial para obtener un elemento delconjunto final, la operación es binaria, tal es el caso de las operaciones aritméticas. Si el conjunto inicial es el mismo final, entonces la operación es cerrada en ese conjunto.
Adición
La suma o adición es una operación que permite reunir o agrupar varias cantidades en una sola, a pesar de ser una operación binaria. En principio se opera sobre dos elementos a y b llamados sumandos y se obtienela suma o total (a mas b), luego esa suma pasa a ser sumando
Propiedades de la adición de Números Naturales
La adición de números naturales cumple las propiedades asociativa, conmutativa y elemento neutro.
1.- Asociativa:
Si a, b, c son números naturales cualesquiera se cumple que:
(a + b) + c = a + (b + c)
Por ejemplo:
(7 + 4) + 5 = 11 + 5 = 16
7 + (4 + 5) = 7 + 9 = 16
Los...