Matemática - Función Lineal

MATEMÁTICA
Módulo 4 – Unidad 2: Función Lineal


REVISIÓN INICIAL
Llamamos función lineal a toda función cuya expresión sea de la
forma: F ( x) = m ⋅ x + b
( m ∈ ℜ, b ∈ ℜ )
El dominio de estas funciones es ℜ , y su representación gráfica es
una recta.

m es la pendiente: recta que representa cuanto varía F (x ) por
cada unidad que aumenta x .
b es la ordenada al origen: es laordenada del punto en que la
r
gráfica de la función corta al eje Y .

SIGNO DE LA PENDIENTE
La función definida por F ( x) = m ⋅ x + b es creciente si m es positiva, decreciente si m es negativa o
constante si m es igual a cero.

GRÁFICO DE UNA RECTA A PARTIR DE SU PENDIENTE Y SU ORDENADA AL ORIGEN
2
Para gráfica la recta de ecuación y = ⋅ x − 4 utilizando como datos la pendiente ⎛ 2 ⎞ y laordenada al origen
⎜ ⎟
3

(− 4) , procedemos del siguiente modo:

Marcamos sobre el eje Y la
ordenada al origen.

A partir de ese punto avanzamos
3 unidades (denominador de la
pendiente) hacia la derecha
(siempre) y 2 unidades (según el
numerador de la pendiente) hacia
arriba, por ser positiva la
pendiente, – en caso contrario se
debe avanzar hacia abajo – y
marcamos otro punto.⎝3⎠

Trazamos la recta uniendo los
dos puntos que marcamos.

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Módulo 4 – Unidad 2: Función Lineal

CENS N º 456 - Modalidad Semipresencial
Prof. Yanina Sousa

PUNTOS DE UNA FUNCIÓN LINEAL
La gráfica de la función F ( x) = 2 ⋅ x + 3 es la recta L.
Cada uno de los puntos de L tiene un par de coordenadas (x; y) que
verifican la ecuación y = 2 ⋅ x + 3 . Las coordenadas decualquier
punto que no pertenece a L no verifican esta igualdad. Por
ejemplo:
P = (1;5) ∈ L ↔ 5 = 2 ⋅1 + 3
5=2+3
5=5
Q = (1;2) ∉ L ↔ 2 ≠ 2 ⋅ 1 + 3
2≠2+3
2≠5
Toda función lineal está asociada a una recta en el plano cartesiano
r
y viceversa, con excepción de las rectas perpendiculares al eje X ,
que no representan funciones.

CÁLCULO DE LA PENDIENTE DE UNA FUNCIÓN LINEAL
Lapendiente de una recta es un número asociado a su inclinación. Si conocemos las coordenadas de dos puntos
de una recta podemos calcular su pendiente mediante la siguiente fórmula:

y 2 − y1
P = ( x1 ; y1 ) ⎫
⎬ m=
Q = ( x2 ; y 2 )⎭
x 2 − x1
Por ejemplo, si:
− 3 − ( −2 )
P = ( −4;−2) ⎫
⎬ m=
Q = (1;−3) ⎭
1 − ( −4 )
−3+ 2
m=
1+ 4
1
m=−
5

FÓRMULA DE LA FUNCIÓN LINEAL A PARTIR DE SUPENDIENTE Y UN PUNTO
Si conocemos la pendiente m de una recta R y las coordenadas de uno de sus puntos, P = ( x1 ; y1 ) , podemos
hallar la ecuación de la recta R utilizando la siguiente fórmula:
y = m ⋅ ( x − x1 ) + y1
Por ejemplo:
Dados m = −2 y P = ( −4;−3)
Reemplazando en la fórmula los datos conocidos:
y = −2 ⋅ [ x − ( −4)] + ( −3)
Resolviendo cuando es posible y aplicando propiedaddistributiva:

y = −2 ⋅ [ x + 4] − 3
y = −2 ⋅ x − 8 − 3
y = −2 ⋅ x − 11
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En caso de que se conozcan sólo dos puntos pertenecientes a la función lineal, es posible hallar la fórmula
originaria calculando la pendiente, como se vio anteriormente. Una vez obtenido el valor de lapendiente, se
repite el procedimiento anterior utilizando sólo uno de los puntos conocidos.
Por ejemplo:
Dados los puntos P = ( −6;−2) y Q = (−4;3) , hallar la fórmula de la función lineal cuya gráfica pasa por ellos.
3 − ( − 2)
P = (−6;−2)⎫
y = m ⋅ ( x − x1 ) + y1 ,
m=
Q = (−4;3) ⎬
− 4 − ( −6 )
⎭
5
3+ 2
y = ⋅ [ x − ( −6)] + ( −2) , reemplazar m y P
m=
2
−4+6
5
5
y = ⋅ [ x + 6] − 2, resolver
m=
2
2
5
y = ⋅ x + 15 − 2 , aplicar propiedad distributiva
2
5
y = ⋅ x + 13
2

RECTAS PARALELAS
Para que dos rectas sean paralelas deben tener la misma pendiente.
Ejemplo:

1
⎫
R1 : y = − x + 2⎪
3
⎪
1
⎪
R2 : y = − x ⎬ R1 // R2 // R
3
⎪
1
R3 : y = − x − 3⎪
⎪
3
⎭

RECTAS PERPENDICULARES
Cuando el producto de las pendientes de dos rectas es -1, y se las...