Material de An lisis Matem tico

Gu´ıa Te´orico Pr´actica
An´alisis Matem´atico I
Marta Garcia

Ana Paula Madrid
Cursada 2014

Mauro Natale

ii

´Indice general
Integrantes

VII

Modalidad de Evaluaci´
on

IX

1. Funciones

1

1.1. Funci´on Valor Absoluto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.1.1. Interpretaci´on del Valor Absoluto como distancia

4

. . . . . . . . . . . .

5

1.2. Funci´on ParteEntera de x . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

8

1.3. Inyectividad, Suryectividad, Funci´on Inversa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

9

1.4. Operaciones con funciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
1.5. Composici´on de funciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
1.6. Funci´on Par e Impar. Ceros de unafunci´on . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
1.7. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
2. N´
umeros Reales

21

2.1. Propiedades de los N´
umeros Reales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
2.2. N´
umeros Naturales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
2.2.1. Principio de inducci´on .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
2.3. Cotas, Supremo e Infimo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
2.3.1. Principio de Arqu´ımedes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
2.4. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
3. Sucesiones

29

3.1. Sucesiones Acotadas . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
3.2. Sucesiones Mon´otonas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
3.3. L´ımite por definici´on . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
3.3.1. Algunas propiedades de l´ımites de sucesiones . . . . . . . . . . . . . . . . 34
3.3.2. Algebra de sucesiones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . 38
3.3.3. Sucesiones Aritm´eticas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
3.3.4. Sucesiones Geom´etricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
3.4. L´ımites Infinitos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
iii

´INDICE GENERAL

iv

3.4.1. Algunos L´ımites Especiales . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . 42
3.4.2. La sucesi´on an = rn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
3.5. El n´
umero e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
3.6. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
4. L´ımite de Funciones

47

4.1. L´ımite por definici´on . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . 48
4.2. Algebra de los l´ımites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
4.3. Propiedades de los l´ımites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
4.3.1. L´ımites Laterales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
4.3.2. L´ımites indeterminados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . 56
4.4. L´ımites Infinitos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
4.4.1. As´ıntotas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
4.4.2. L´ımites con el n´
umero e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60
4.5. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
5.Continuidad

69

5.1. Tipos de discontinuidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72
5.2. Algebra de funciones cont´ınuas

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74

5.3. Continuidad de la funci´on compuesta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74
5.4. Continuidad por la derecha y por la izquierda . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75
5.5. Funciones...