MATRICES 2

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Universidad Católica de la Santísima Concepción
Álgebra para los negocios
e.i.v.
MATRICES
Definición: Una matriz es un arreglo rectangular de m x n números reales, alineados en filas y columnas
donde cada número o entrada lo denotamos por aij. La matriz será denotada por una letra mayúscula y en la
siguiente forma:
A = [aij]m x n donde:

- aij denota la entrada o el elemento de la matriz A quese encuentra en la i-ésima fila y en la j-ésima
columna.
- Puesto que la matriz A tiene m filas y n columnas, entonces decimos que A es una matriz de orden mxn.
Denotamos A = Amxn = A(mxn) = A(m,n)
1) Ejemplo:

૚
࡭ = ൭−૚
૜

૙
−૛൱
૝

A tiene 3 filas y 2 columnas. Por lo tanto decimos que es de orden 3 x 2
a11 = 1
a12 = 0
a21 = -1 a22 = -2
a31 = 3
a32 = 4
Igualdad de matrices:
Las matrices A =[aij]mxn y B = [bij]mxn son iguales si y sólo sí aij = bij
Para entender un poquito más, diremos que A = B si:
* A y B son del mismo orden. Es decir tienen igual número de filas y columnas.
* Las entradas correspondientes a cada matriz y en la misma posición son iguales.
1 0
1 0
Ejemplo: Las matrices ‫ = ܣ‬൭3 −1൱ ‫ = ܤ ݕ‬൭3 −1൱
2 1
2 1

Si son iguales. Puesto que tienen el mismo orden 3 x 2 y lasentradas correspondientes son iguales; veamos:
a11 = b11 = 1
a12 = b12 = 0
a21 = b21 = 3
a31 = b31 = 2
a32 = b32 = 1
a22 = b22 = -1
Ejercicio:

Determine los valores de las incógnitas si A = B siendo ‫ = ܣ‬ቀ

‫ݑ‬+‫ݒ‬
3

2
‫ݓ‬

4
‫ݔ‬
ቁ ‫ =ܤ ݕ‬൬
−‫ݕ‬
4

‫ݑ‬−‫ݒ‬
1

3
൰
4

2
OPERACIONES CON MATRICES

2.1. Suma de matrices: Sean las matrices A = [aij]mxn y B= [bij]mxn . La suma de las matrices A y B es:
A+ B = [aij]mxn +[bij]mxn = [aij + bij]mxn
* A y B tiene el mismo orden. (Si fuesen de distintos orden, la suma no existe)
* La entrada aij de la matriz A se suma con la correspondiente entrada bij de la matriz B.
Ejemplo: Sean

La diferencia de las matriz A y B será: A – B = A + (-B) = [aij - bij]mxn
3 0
5 0

Ejemplo: Sean ‫ = ܣ‬ቀ

2 4
ቁ
2 1

‫=ܤ ݕ‬ቀ

3
5

0 2 4
ቁ
−1 1 2

Como ambas matrices sonde orden (2x4), entonces podemos hallar la diferencia:
‫ܣ‬−‫ =ܤ‬൬

3−3
5−5

0−0
0 − (−1)

2−2
2−1

4−4
0
൰= ቀ
1−2
0

0
1

0 0
ቁ
1 −1

Multiplicación por escalar: Ahora tenemos el número λ∈ℜ y una matriz cualquiera A = [aij]mxn. Podemos
multiplicar el número λ con la matriz A; y el resultado sigue siendo una matriz de orden (m x n) denotado
por λA. El producto mencionado es como sigue:
λ.A = (λA) =[ λaij]mxn
ଵ

Ejemplo: Sea λ= 5 y ‫ = ܣ‬ቌ ହ
3
Entonces 5‫ = ܣ‬ቌ

5∙

ଵ
ହ

5∙3

0

−1
ଶ ቍ

5∙

ଶ

0

ହ

5 ∙ 0 5 ∙ −1
5∙0

ହ

ቍ = ቀ

1
15

0
0

−5
ቁ
2

3
Ejercicios:
1) Sean ‫= ܣ‬

ଵ

ቌଶଷ
ସ

ଶ
ଷ

ହቍ

−ଶ

‫ݕ‬

‫ =ܤ‬ቆ

ିହ

ଷ

଺

ସ

−0,25 0,5

Calcule: A + B ; A – B ; 6A – 3B

ܽ + 2ܾ
2) Calcula A + B, siendo ‫ = ܣ‬൭2ܾ − ܽ
ܾ − 5ܽ

−3ܽ
ܽ + ܾ൱
3ܽ

ቇ

2ܽ − ܾ
‫ = ܤ ݕ‬൭3ܾ − 2ܽ
ܽ + 4ܾ

2ܾ
−3ܽ ൱
ܾ − 7ܽPropiedades: Si A, B, C y 0 son matrices de orden (mxn) entonces:
P1 : A + (B + C) = (A + B) + C (asociativa para la suma)
P2 : A + 0 = 0 + A = A (Neutro para la suma de matrices es la matriz nula)
P3 : A + B = B + A (conmutativa para la suma)
P4 : λ(A + B) = λA + λB, λ∈ℜ (distributividad del escalar)
P5: A + (-A) = A – A = 0 (0puesto aditivo de la suma de matrices)

Multiplicación de matrices: Paralas matrices A y B desarrollamos una nueva operación, llamada
multiplicación o producto de matrices; pero para que esta se lleve a cabo con éxito consideramos lo
siguiente:
Sean A = [aij]mxn y B = [bij]nxp el producto de A y B será una matriz C de orden m x p
Para que AB exista, el número de columna (n) de la matriz A; es igual al número de filas (n) de B.
‫ܣ = ܤ ∙ ܣ = ܥ‬௠௫࢔ ᇣᇤᇥ ‫ܤ‬௡௫௣
Son iguales0
1
ቃ ‫ = ܤ ݕ‬൥1
3
2

Ejemplo: Sean
‫ =ܣ‬ቂ

0
0

3
1൩
1

‫݁ݐݏ݅ݔ݁ ݋݊ ܤܣ‬, ‫ ݊݁݀ݎ݋ ݁݀ ݏ݁ ܣ ݏ݁ݑ݌‬2‫ݔ‬2 ‫ ݊݁݀ݎ݋ ݁݀ ݏ݁ ܤ ݕ‬3‫ݔ‬2

Observación:
1. El producto entre (Amxn)(Bnxp) = Cmxp , es decir la matriz resultante es de orden mxp
2. Para obtener la entrada cij se multiplica la í- ésima fila de A con la j-ésima columna de B de la
siguiente forma:
ܾଵ௝
ܾଶ௝
Cij = (ܽ௜ଵ ܽ௜ଶ … … ܽ௜௞ … . ܽ௜௡ ) ‫ ۇ‬... ‫ =...