Matrices Algebra

Departamento de Matemáticas

ÁLGEBRA: Matrices

http://www.colegiovirgendegracia.org/eso/dmate.htm

I. MATRICES.
1. INTRODUCCIÓN.
Las matrices aparecieron por primera vez hacia el año 1850, introducidas por el inglés J. J.
Sylvester. Su desarrollo se debe a W. R. Hamilton y a A. Cayley.
Además de su utilidad para el estudio de los sistemas de ecuaciones, las matrices aparecen de
maneranatural en geometría, estadística, economía, etc.
Nuestra cultura está llena de matrices de números: El horario de los trenes de cada una de las
estaciones es una matriz de doble entrada, la tabla de cotizaciones de la Bolsa en cada uno de los días
de la semana es otra, etc.
Las tablas de sumar y multiplicar, la disposición de los alumnos en clase, las casillas de un tablero
de ajedrez, lasapuestas de la loto, los puntos de un monitor de ordenador, son otros tantos ejemplos de
la vida cotidiana de matrices.
Actualmente, muchos programas de ordenador utilizan el concepto de matriz. Así, las Hojas de
Cálculo funcionan utilizando una inmensa matriz con cientos de filas y columnas en cuyas celdas se
pueden introducir datos y fórmulas para realizar cálculos a gran velocidad. Estorequiere utilizar las
operaciones con matrices.

2. CONCEPTO DE MATRIZ.
Se llama matriz de orden mxn, sobre el cuerpo de los numeros reales a una "caja", "cuadro", etc. que
contiene mxn números reales dispuestos en m filas y n columnas.
*

A los números reales aij se les llama elementos
de la matriz.
*
El primer subíndice (i) indica la fila, el segundo (j) la columna. Así, el elemento a32es el
que está en la tercera fila y la segunda columna.
*
Las dimensiones de la matriz son m y n.
Denotaremos por Mmxn al conjunto de las matrices de orden mxn.

Ejemplo:

Es una matriz de orden 3x4 (3 filas, 4 columnas), a23=-1, a32=8, a34=0. etc.

1

Departamento de Matemáticas

ÁLGEBRA: Matrices

http://www.colegiovirgendegracia.org/eso/dmate.htm

3. IGUALDAD DE MATRICES.Dos matrices A y B son iguales si tienen el mismo orden y coinciden los elementos que ocupan el
mismo lugar. Es decir, siendo:

A=B si para todo i0{1,2,...,m} y para todo j0{1,2,...,n} se cumple que aij=bij.

4. TIPOS DE MATRICES.
a.

Matriz fila. Es toda matriz de orden 1xn.
‚

b.

. A es de orden 1x5.

Matriz columna. Es toda matriz de orden mx1.
‚

c.

Matriz nula. Es la quetiene todos sus elementos nulos. La denotaremos por (0).
‚

d.

. A es de orden 3x1.

Son matrices nulas:

.

Matriz horizontal. Es aquella en la que mn.
‚

e.

,

.

Matriz opuesta de A. Es la que tiene por elementos los opuestos de los elementos de A.
La denotaremos por -A. Si A=(aij), -A=(-aij).
‚

Si

Y

.

2

Departamento de Matemáticas

ÁLGEBRA: Matriceshttp://www.colegiovirgendegracia.org/eso/dmate.htm

g.

Matriz traspuesta de A. Es la que se obtiene a partir de A cambiando filas por columnas sin alterar
su orden de colocación. La denotaremos por At.
Si A=(aij), At=(aji). Si A es de orden mxn, At será de orden nxm.
‚

h.

Y

Si

Matriz cuadrada. Es toda matriz que tiene el mismo número de filas que columnas. Es decir m=n.
Enellas podemos distinguir:
< La diagonal principal. Son los elementos a11, a22, ..., ann.
< La diagonal secundaria. Son los elementos a1n, a2(n-1), ..., an1.
‚

i.

. Diagonal principal: 1,5,9. Diagonal secundaria: 3,5,7.

Submatriz de una matriz A. Es toda matriz A' obtenida suprimiendo p filas y q columnas en A.
Si A es de orden mxn, A' será de orden (m-p)x(n-q).
‚

j.

. A es deorden 2x3. At es de orden 3x2.

. Suprimiendo en A0M3x5 la fila 3 y las columnas 4 y 5, obtenemos

, submatriz A'0M2x3.

Matriz escalonada. Es toda matriz en la que el número de ceros que precede al primer elemento
no nulo, de cada fila o de cada columna, es mayor que el de la precedente. Puede ser escalonada por
filas o escalonada por columnas.
‚

‚

.

.

Ejercicio.
1.

Indica...