Matrices, funciones y la recta

MATRICES

Definición

Una matriz es una tabla ordenada de escalares a× de la forma:

a11 a12 ... a1n  
a21 a22 ... a2n
... ... ... ...
am1 am2 ... a mn

La matriz anterior se denota también por (a×), i =1, ..., m, j =1, ..., n, o simplemente por (a×).
Los términos horizontales son las filas de la matriz y los verticales son sus columnas. Una matriz con m filas y n columnas se denominamatriz m por n, o matriz m ´ n.
Las matrices se denotarán usualmente por letras mayúsculas, A, B, ..., y los elementos de las mismas por minúsculas, a, b, ...

Ejemplo:
La siguiente matriz es una matriz de 2 x 3:

1 -3 4  
0 5 -2
 
donde sus filas son (1, -3, 4) y (0, 5, -2) y sus columnas
 
1, -3 y  4  
0 5 -2

Una matriz m×n es una tabla o arreglo rectangular A denúmeros reales con m renglones (o filas) y n columnas. (Renglones son horizontales y columnas son verticales.) Los números m y n son las dimensiones de A.
Los números reales en la matriz se llaman entradas.

Operaciones con matrices

Suma y resta de matrices

Para poder sumar o restar matrices, éstas deben tener el mismo número de filas y de columnas. Es decir, si una matriz es de orden 3 x 2 yotra de 3 x 3, no se pueden sumar ni restar. Esto es así ya que, tanto para la suma como para la resta, se suman o se restan los términos que ocupan el mismo lugar en las matrices.

Sean las matrices: A =   3 1 2  
0 5 -3
7 0 4

y B =   -1 2 4  
2 5 80 1 -2

Entonces:

A + B =  3 1 2    -1 2 4 2 3 6  
0 5 -3 + 2 5 8 = 2 10 5
7 0 4 0 1 -2 7 1 2
 

A - B =  3 1 2   -1 2 4   4 -1 -2  
0 5 -3 - 2 5 8 = -2 0 57 0 4 0 1 -2 7 -1 6

Producto

Sea A una matriz con dimensiones m×n y B una matriz con dimensiones n×p, entonces el producto AB está definido, y tiene dimensiones m×p. La entrada (AB)ij se obtiene por multiplicar renglón i de A por columna j de B, hecho por multiplicar sus entradas correspondientes y sumar las resultados.

 a11 ... a1p  .  b11 ...b1j ... b1n  =  c11 ... c1n  
. ... . . ...   ... . . ... .
ai1 ... a ip . ...   ... . . c ij .
. ... . . ...   ... . . ... .
a m1 ... amp b p1 ... b pj ... b pm c m1 ... c mn

donde cij = ai1 b1j + ai2 b2j + ...+ aip bpj

Ejemplo.

FUNCIONES

Definición.

Dados dos conjuntos A y B, una función (también aplicación o mapeo) entre ellos es unaasociación2 f que a cada elemento de A le asigna un único elemento de B. Se dice entonces que A es el dominio (también conjunto de partida o conjunto inicial) de f y que B es su codominio (también conjunto de llegada o conjunto final).
En matemáticas, se dice que una magnitud o cantidad es función de otra si el valor de la primera depende exclusivamente del valor de la segunda. Por ejemplo el área A deun círculo es función de su radio r: el valor del área es proporcional al cuadrado del radio, A = π·r2. Del mismo modo, la duración T de un viaje en un tren circulando a una velocidad v de 150 km/h depende de la distancia d entre el origen y el destino: la duración es inversamente proporcional a la distancia, T = v / d. A la primera magnitud (el área, la duración) se la denomina variabledependiente, y la cantidad de la que depende (el radio, la distancia) es la variable independiente.

De manera más abstracta, el concepto general de función, aplicación o mapeo se refiere en matemáticas a una regla que asigna a cada elemento de un primer conjunto un único elemento de un segundo conjunto. Por ejemplo, cada número entero posee un único cuadrado, que resulta ser un número natural...