Matrices inversas

MATRICES INVERSAS

En la teoría de matrices solamente ciertas clases de matrices cuadradas tienen inverso multiplicativos a diferencia de algebra común donde cada número real a diferente de cerotiene su inverso multiplicativo b.

Matriz identidad

La matriz identidad tiene 1 en la diagonal principal y 0 en las otras posiciones.
Ejemplos de matrices identidad de diferentes ordenes.[pic] [pic] [pic]
Matriz transpuesta

Es la matriz que obtenemos de cambiar las filas por las columnas. La transpuesta de A la representamos por [pic].
Ejemplo :

[pic]

Matriz AdjuntaDefinición: Si A es una matriz cuadrada n x n y B es la matriz de sus cofactores, entonces la Adjunta de A , denotada por [pic] que es la transpuesta de la matriz B cuadrada n x n .

[pic]Ejemplo I:
Calcula la [pic]
[pic]

Primero calculamos TODOS los cofactores de la matriz A.

[pic] [pic]
[pic] [pic]

Segundo con las respuestas formo lamatriz B y luego obtengo [pic] que es la [pic].

[pic] [pic]

Ejemplo II:
Calcula la [pic]

[pic]

Solución
Primero calculamos TODOS los cofactores de la matriz A.

[pic][pic] [pic]

[pic] [pic] [pic]

[pic] [pic] [pic]

Segundo con las respuestas formo la matriz B y luego obtengo [pic] que es la [pic].

[pic] [pic]EJERCICIOS I

Calcular adj A de las siguientes matices.

1)[pic] 2) [pic] 3) [pic]

4) [pic] 5) [pic] 6) [pic]

Definición de inversa de una matriz:

Si A es una matriz cuadrada de orden n.Si existe una matriz B tal que

AB = In = BA

entonces B se llama inversa de A y se denota con [pic]. (Se lee “A inversa”)

Si a es una matriz cuadrada tiene una inversa y decimos que A esinvertible. Si A no es una matriz cuadrada no es posible invertirla.

Ejemplo:

Inversa de una matriz 2 x 2

Método I:

TEOREMA:

[pic]

Si el determinante de A no es cero...