matrices y deerminanres

Matrices y Determinantes

Vamos a hacer un pequeño recorrido por los conceptos fundamentales del
trabajo con matrices y Determinantes de cara a fundamentar el empleo de las mismas
en el apartado de resolución de Sistemas de Ecuaciones.
Usando la Classpad podemos ahorrarnos mucho trabajo,
pero voy a intentar hacer un desarrollo teórico lo más completo
posible para que conozcas distintasestrategias de cálculo
que te pueden servir en caso de tener que echar mano de lápiz y papel
(sobre todo en la sección dedicada a los Determinantes)

Aunque es un convenio aceptado que las matrices se representan
con letras mayúsculas, me voy a permitir la licencia de representarlas
con minúsculas en las Calculadoras, puesto que en los modelos
que utilizo es más factible hacerlo así. En otrosmodelos sin embargo
no es posible representar en minúsculas las variables.
 
CONCEPTOS FUNDAMENTALES SOBRE MATRICES
1.- Algo de Historia
2.- Nociones fundamentales y tipos de matrices
3.- Operaciones con matrices
4.- Rango e inversa de una matriz
5.- Factorización LU
6.- Determinantes

 
 
 
Algo de Historia...

El primero que empleó el término ‘’matriz’’ fue el matemático inglésJames Joseph Sylvester en el año 1850.
Sin embargo, hace más de dos mil años los matemáticos chinos habían descubierto ya un método de resolución de sistemas de ecuaciones lineales equivalente al método de Gauss y por lo tanto empleaban tablas con números.
Voy a enseñarte un problema que aparece en la obra "Los nueve capítulos" que pasa por ser la más importante de las matemáticas chinas de laantigüedad y la propuesta de resolución que se hace en esta obra:
 
Hay tres tipos de cereal, de los cuales tres fardos del primero, dos del segundo, y uno del tercero hacen 39 medidas. Dos del primero, tres del segundo y uno del tercero hacen 34 medidas. Y uno del primero, dos del segundo y tres del tercero hacen 26 medidas. ¿Cuántas medidas de cereal son contenidas en un fardo de cada tipo? 
La estrategia de resolución que propone el autor es la siguiente:
1º Se crea la tabla siguiente:
1
2
3
2
3
2
3
1
1
26
34
39
2º A continuación da instrucciones para reducir la tabla a esta forma:
 
0
0
3
0
5
2
36
1
1
99
24
39


Pero hasta el Siglo XIX no se desarrolla en las matemáticas el Álgebra de matrices. A este desarrollo contribuyó de forma decisiva elmatemático inglés Arthur Cayley. En 1858 publicó unas “Memorias sobre la teoría de matrices” en la que daba la definición de matriz y las operaciones suma de matrices, de producto de un número real por una matriz, de producto de matrices y de inversa de una matriz. Cayley afirma que obtuvo la idea de matriz a través de la de determinante y también como una forma conveniente de expresar transformacionesgeométricas.


Nociones fundamentales sobre matrices

(las fundamentales a la hora de resolver los Sistemas de Ecuaciones)
Concepto de matriz:
Ya hemos intuido que una matriz no es más que una tabla de números distribuidos en filas y columnas de forma que todas las filas tienen el mismo nº de elementos y lo mismo para todas las columnas.
Dimensión u orden de una matriz:
Es una forma dedefinir el nº de filas y de columnas que tiene una matriz. Si tiene m filas y n columnas, se dice que la dimensión u orden de la matriz es de m x n ("eme por n").
A los elementos de una matriz se les denota por aij siendo i el nº de fila y j el nº de columna. Así el elemento a34 sería el elemento de la tercera fila que ocupa la cuarta columna (es igual que jugar a los barquitos).
Tipos dematrices:
 

Matriz fila y matriz columna
(las que sólo tienen una fila o una columna)
A estas matrices se las suele denominar vectores.
 

Matriz cuadrada
(su orden es m x m, es decir nº filas = nº columnas,
pero normalmente se nombran como matriz de orden m)


Diagonal principal de una matriz cuadrada
(la he pintado de rojo: estaría formada por los elementos a11, a22, es decir por los...