Matrices y Determinantes 1

Matrices y determinantes

1. INTRODUCCIîN
Como ya habr‡s observado, en cuanto se trabaja con espacios vectoriales de
dimensi—n tres o superior las operaciones se complican bastante y hay que tener mucho
cuidado para no confundir unas coordenadas con otras, unos subespacios con otros y, en
resumen, no cometer ningœn error en los c‡lculos. Adem‡s -no lo olvides-, nuestro objetivo
final son lossistemas de m ecuaciones con n inc—gnitas, y con ellos, si no se tiene cierto
orden, el problema puede ser mayœsculo... Habr‡ que hacer algo al respecto, Àno?
Empezaremos el presente cap’tulo introduciendo el concepto de matriz. Diremos algo,
no mucho, sobre operaciones con matrices y, una vez hayamos establecido quŽ son los
determinantes (de los que no tendremos reparos en admitir sin demostraci—nalgunas
propiedades, preocup‡ndonos m‡s de saber manejarlos), definiremos el concepto de rango de
una matriz, que no nos resultar‡ completamente nuevo y sin el cual dif’cilmente podr’amos
estudiar los sistemas de ecuaciones. Terminaremos el cap’tulo viendo un par de
procedimientos para el c‡lculo de dicho rango... Si hemos sobrevivido, estaremos en
condiciones de enfrentarnos a nuestro objetivo.

2.MATRIZ DE NòMEROS REALES
Definici—n (de matriz)
☞ Llamaremos matriz de nœmeros reales de orden m ´ n a un conjunto ordenado de
m . n nœmeros reales, dispuestos en m filas y n columnas:
æ
ç
ç
ç
A =ç
ç
ç
ç
è

a1 1
a 21
...
a i1
...
am1

a1 2 a1 3 ¼ a1 j ¼ a1 n ö
a 2 2 a 2 3 ¼ a 2 j ¼ a2 n ÷
...
...
...
... ÷
...
...
÷
ai 2 a i 3 ¼ ai j ¼ ai n ÷
...
...
...
... ÷
...
...
÷
a m 2 a m 3 ¼ a m j ¼ a mn ÷ø

Como ves, con el s’mbolo a i j nos referiremos al elemento situado en la fila i y la
columna j, y la matriz se escribir‡: A = (a i j). Naturalmente, puede ocurrir que m = n. Se
dice, entonces, que la matriz es cuadrada.

Consecuencias
A poco que nos fijemos en la matriz A, observaremos que sus m filas pueden considerarse como un conjunto de m vectores del espacio vectorial (Rn , +, .) de laforma:
a1 = (a11 , a12 , ... , a1n) ; a2 = (a21 , a22 , ... , a2n) ; ....... ; am = (am1 , am2 , ... , amn)
as’ como que las n columnas forman un conjunto de n vectores de (Rm, +, .) de la forma:
a'1 = (a11 , a21 , ... , am1) ; a'2 = (a12 , a22 , ... , am2) ; .... ; a'n = (a1n , a2n , .... , amn)
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3. OPERACIONES CON MATRICES
Definici—n (de suma de matrices)
☞Dadas dos matrices A = (a i j), B = (b i j) , que necesariamente han de ser del
mismo orden m ´ n , se define la matriz suma C = A + B como la matriz de orden m ´ n
dada por C = (c i j) , con c i j = a i j + b i j .
(O sea, que para sumar dos matrices, basta con sumar cada elemento de la primera matriz con el
que ocupa el mismo lugar en la segunda)

Definici—n (de producto de un nœmero real por unamatriz)
☞ Dada una matriz de orden m ´ n , A = (a i j) , y un nœmero a ‚ Î R, se define el
a.‚ a i j).
producto a.‚ A como la matriz de orden m ´ n dada por a.‚ A = (a
(O sea, que para multiplicar un nœmero por una matriz, basta con multiplicar cada elemento de la
matriz por dicho nœmero).

Ejemplo
Comprueba que:

æ 2 3 0 1ö æ 5 8 3 4
æ 1 2 3 2ö
ç 3 1 4 2 ÷ + 2. ç 3 1 1 3 ÷ = ç 9 3 6 8
ç
÷ ç
ç
÷
è 14 0 4ø è 4 8 7 9
è 2 0 7 1ø

ö
÷
÷
ø

Consecuencia
Te ser‡ f‡cil comprobar que el conjunto M(m ´ n) de todas las matrices de orden m ´
n es, con las operaciones anteriores, un espacio vectorial sobre R. Y si lo tuyo es vicio,
puedes buscar una base de dicho espacio. ÀCu‡l es su dimensi—n?

Definici—n (de producto de matrices)
☞ Dadas una matriz A, de orden m ´ n y otra matriz B, de orden n ´ p(observa que el
nœmero de columnas de A coincide con el de filas de B), se define la matriz producto C = A . B como
la matriz de orden m ´ p cuyo elemento c i j viene dado por:
n

c i j = ai 1 b 1 j + a i2 b 2 j + a i 3 b 3 j + ¼ + ai n b n j =

å aikbkj
k= 1

Traduzcamos: Para obtener el elemento
c i j de la matriz A . B basta con que multipliques uno
a uno los elementos de la fila i de A por los...