Matrices y determinantes

MATRICES Y DETERMINANTES
Definición: Una matriz A de mxn es un arreglo rectangular de m.n elementos ordenados o dispuestos en m filas y n columnas.-

 a11 a12 ... a1n   a21 a22 ... a2 n   A= : :   :    am1 am2 ... amn 
Una matriz que tiene m filas y n columnas se dice que es una matriz de orden mxn. A la fila, renglón o vector fila (ai1 ai2 ... ain) se la llama fila i, y a lacolumna o vector  a1j   a2 j  columna   se la llama columna j.  :     amj Al elemento aij, que es la componente ij-ésima, se lo ubica en la i ésima fila y l j-ésima a columna.Si los elementos de una matriz de orden mxn son números reales, decimos que A ∈ ℜmxn , donde ℜmxn es el conjunto de las matrices de orden mxn con coeficientes reales.

Igualdad: Dos matrices son iguales cuandotienen el mismo orden y los términos correspondientes son iguales. Sean A y B matrices de orden mxn. A = (aij) ; B = (bij) A = B ⇔ aij = bij ∀ i, ∀ j ∈ Ν / 1 ≤ i ≤ m ∧ 1≤ j ≤ n

Suma: Sean A y B matrices del mismo orden. La suma A + B es la matriz C que se obtiene al sumar los elementos correspondientes de las dos matrices. Sean A = (aij) ; B = (bij) A + B = C = (cij) ⇔ cij = aij + bij ∀ i, ∀ j ∈ Ν /1 ≤ i ≤ m
MATRICES Y DETERMINANTES

∧

1≤ j ≤ n

1

ING. LUIS A. CARDENAS

Es decir (cij) = (aij + bij) Producto externo Sea A ∈ ℜmxn y k ∈ ℜ.Definimos producto externo a la operación k.A = B donde bij = k.aij ∀ i, ∀ j ∈ Ν / 1 ≤ i ≤ m ∧ 1 ≤ j ≤ n. De esta manera podemos definir A - B = A + (-B) = A + (-1).B

Propiedades de la suma y el producto externo Sean A, B, C matrices de ordenmxn; k1 y k2 reales: * La suma es asociativa. (A + B) + C = A + (B + C) * Existencia del neutro en la suma. A + 0 = 0 + A = A 0 es la matriz de orden mxn cuyos coeficientes son todos ceros. * Todos tienen opuestos. A + -A = A + A = 0 El opuesto de A es -A = (-1).A * La suma es conmutativa. A + B = B + A Por lo tanto ( ℜmxn ;+) es grupo conmutativo. (grupo abeliano) * k1.(A + B) = k1.A + k1.B *(k1 + k2).A = k1.A + k2.B * (k1.k2).A = k1.(k2.A) * 1.A = A Como se cumplen estas ocho propiedades, decimos que la cuaterna ( ℜmxn , +, ℜ, .) es un espacio vectorial sobre el cuerpo ℜ. Además se cumplen las siguientes propiedades: * k1.A = A.k1 * k1.(B.C) = (k1.B).C = B.(k1.C) Demostraremos algunas de estas propiedades, dejando para el hábil alumno las restantes. 1) La suma es asociativa: (A + B) +C = A + (B + C) Demostración: (A + B) + C=(dij)=((aij)+(bij)) + (cij) = (aij + bij) + (cij) = ((aij + bij) + cij) = = (aij + (bij + cij)) = (aij) + (bij + cij) = (aij) +((bij) + (cij)) = A + (B + C) 2) k 1.(A + B) = k 1.A + k 1.B Demostración: k1.(A + B) = k1. ((aij ) +(bij)) = k1.(aij + bij) = (k1.( aij + bij)) = (k1.aij + k1.bij) = = (k1.aij) + (k1.bij) = k1.(aij) + k1.(bij) = k1.A + k1.BProducto de matrices Sean A ∈ ℜmxr y B ∈ ℜrxn . El producto A.B es la matriz de orden mxn cuyos elementos se determinan de la siguiente manera: Para encontrar el término ij-ésimo de
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ING. LUIS A. CARDENAS

A.B, se toma la fila i-ésima de A y la columna j-ésima de B. Se multiplican los términos correspondientes de la fila y la columna y se suman todos los productos.A.B = C = (cij) donde cij = Propiedades: a) A.(B.C) = (A.B).C b) A.B ≠ B.A c) A.(B + C) = A.B + A.C d) A.(B - C) = A.B - A.C e) (B + C).A = B.A + C.A f) (B - C).A = B.A - C.A

∑a .b
ik k= 1

r

kj

∀ i, ∀ j ∈ Ν / 1 ≤ i ≤ m

∧

1≤ j ≤ n

Matrices cuadradas Sea A ∈ ℜmxn . Si m = n decimos que A es una matriz cuadrada de orden n. Los elementos a11, a22, ... ,ann están en la diagonalprincipal de la matriz.

Matrices particulares A es una matriz triangular superior ⇔ aij = 0 para i > j A es una matriz triangular inferior ⇔ aij = 0 para i < j A es una matriz diagonal ⇔ A es una matriz triangular superior e inferior. A es una matriz simétrica ⇔ aij = aji para todo i y para todo j.

Matriz traspuesta: Decimos que B = (bij) = At es la matriz traspuesta de A ⇔ bij = aji para...