Matrices y Determinantes

Índice

1. Introducción a las matrices
2. Definición de matriz
3. Algunos tipos de matrices
4. Operaciones con matrices
a. Trasposición de matrices
b. Suma y diferencia de matrices
c. Producto de una matriz por un número
d. Propiedades simplificativas
e. Producto de matrices
f. Matrices inversibles
g. Cálculo de la matriz inversausando determinantes
h. Método de Gauss-Jordan para el cálculo de la matriz inversa
i. Rango de una matriz
j. Cálculo del rango usando determinantes
k. Cálculo del rango por el método de Gauss
5. Determinantes
6. Cálculo de determinantes de órdenes 1, 2 y 3
7. Cálculo de determinantes por los adjuntos de una línea
8. Propiedades de los determinantes9. Cálculo de determinantes por el método de Gauss
10. Aplicaciones de los determinantes
l. Cálculo del rango de una matriz
m. Cálculo de la matriz inversa
n. Discusión y resolución de sistemas de ecuaciones lineales
11. Cálculos con matrices

1. INTRODUCCIÓN

Las matrices aparecen por primera vez hacia el año 1850, introducidas por J.J. Sylvester. Eldesarrollo inicial de la teoría se debe al matemático W.R. Hamilton en 1853. En 1858, A. Cayley introduce la notación matricial como una forma abreviada de escribir un sistema de m ecuaciones lineales con n incógnitas.

Las matrices se utilizan en el cálculo numérico, en la resolución de sistemas de ecuaciones lineales, de las ecuaciones diferenciales y de las derivadas parciales. Además de su utilidadpara el estudio de sistemas de ecuaciones lineales, las matrices aparecen de forma natural en geometría, estadística, economía, informática, física, etc...

La utilización de matrices (arrays) constituye actualmente una parte esencial dn los lenguajes de programación, ya que la mayoría de los datos se introducen en los ordenadores como tablas organizadas en filas y columnas: hojas de cálculo,bases de datos,...

2. DEFINICIÓN DE MATRIZ
Se llama matriz de orden m×n a todo conjunto rectangular de elementos aij dispuestos en m líneas horizontales (filas) y n verticales (columnas) de la forma:

Abreviadamente suele expresarse en la forma A =(aij), con i =1, 2, ..., m, j =1, 2, ..., n. Los subíndices indican la posición del elemento dentro de la matriz, el primero denota la fila (i)y el segundo la columna (j). Por ejemplo el elemento a25 será el elemento de la fila 2 y columna 5.
Dos matrices son iguales cuando tienen la misma dimensión y los elementos que ocupan el mismo lugar en ambas son iguales.

3. ALGUNOS TIPOS DE MATRICES

Vamos a describir algunos tipos de matrices que aparecen con frecuencia debido a su utilidad, y de los que es conveniente recordar sunombre.

Atendiendo a la forma

Matriz fila: Es una matriz que solo tiene una fila, es decir m =1 y por tanto es de orden 1´n.
Ejemplo

Matriz columna: Es una matriz que solo tiene una columna, es decir, n =1 y por tanto es de orden m ´1.
Ejemplo

Matriz cuadrada: Es aquella que tiene el mismo número de filas que de columnas, es decir m = n. En estos casos se dice que la matriz cuadrada esde orden n, y no n ´ n.

Los elementos aij con i = j, o sea aii forman la llamada diagonal principal de la matriz cuadrada, y los elementos aij con i + j = n +1 la diagonal secundaria.
Ejemplo

Matriz traspuesta: Dada una matriz A, se llama traspuesta de A, y se representa por At, a la matriz que se obtiene cambiando filas por columnas. La primera fila de A es la primera fila de At, lasegunda fila de A es la segunda columna de At, etc.

De la definición se deduce que si A es de orden m ´ n, entonces At es de orden n ´ m.
Ejemplo

Matriz simétrica: Una matriz cuadrada A es simétrica si A = At, es decir, si aij = aji " i, j.
Ejemplos

Matriz antisimétrica: Una matriz cuadrada es antisimétrica si A = –At, es decir, si aij = –aji " i, j.
Ejemplos

Atendiendo a los elementos...