Matrices y determinantes

INTRODUCCIÓN
Las matrices aparecen por primera vez hacia el año 1850, introducidas por J.J. Sylvester. El desarrollo inicial de la teoría se debe al matemático W.R. Hamilton en 1853. En 1858, A. Cayley introduce la notación matricial como una forma abreviada de escribir un sistema de m ecuaciones lineales con n incógnitas.
Las matrices se utilizan en el cálculo numérico, en la resolución desistemas de ecuaciones lineales, de las ecuaciones diferenciales y de las derivadas parciales. Además de su utilidad para el estudio de sistemas de ecuaciones lineales, las matrices aparecen de forma natural en geometría, estadística, economía, informática, física, etc.

MATRICES Y DETERMINANTES
Las matrices se utilizan en el cálculo numérico, en la resolución de sistemas de ecuaciones lineales,de las ecuaciones diferenciales y de las derivadas parciales. Tienen también muchas aplicaciones en el campo de la física.
MATRICES
Una matriz es una tabla ordenada de escalares ai j de la forma

La matriz anterior se denota también por (ai j), i =1,..., m, j =1,..., n, o simplemente por (ai j).
Los términos horizontales son las filas de la matriz y los verticales son sus columnas. Unamatriz con m filas y n columnas se denomina matriz m por n, o matriz m ð n.
Las matrices se denotarán usualmente por letras mayúsculas, A, B, ..., y los elementos de las mismas por minúsculas, a, b, ...
Ejemplo:

Donde sus filas son (1, -3, 4) y (0, 5, -2) y sus

CLASES DE MATRICES
Según el aspecto de las matrices, éstas pueden clasificarse en:
Matrices cuadradas
Una matriz cuadrada es la quetiene el mismo número de filas que de columnas. Se dice que una matriz cuadrada n ð n es de orden n y se denomina matriz n-cuadrada.
Ejemplo: Sean las matrices

Entonces, A y B son matrices cuadradas de orden 3 y 2 respectivamente.
Matriz identidad
Sea A = (ai j ) una matriz n-cuadrada. La diagonal (o diagonal principal) de A consiste en los elementos a11, a22,..., ann. La traza de A,escrito tr A, es la suma de los elementos diagonales.
La matriz n-cuadrada con unos en la diagonal principal y ceros en cualquier otra posición, denotada por I, se conoce como matriz identidad (o unidad). Para cualquier matriz A,
A• I = I •A = A.
Matrices triangulares
Una matriz cuadrada A = (ai j ) es una matriz triangular superior o simplemente una matriz triangular, si todas las entradas bajo ladiagonal principal son iguales a cero. Así pues, las matrices

Son matrices triangulares superiores de órdenes 2, 3 y 4.
Matrices diagonales
Una matriz cuadrada es diagonal, si todas sus entradas no diagonales son cero o nulas. Se denota por D = diag (d11, d22,..., dnn ). Por ejemplo,

Son matrices diagonales que pueden representarse, respectivamente, por
diag(3,-1,7) diag(4,-3) ydiag(2,6,0,-1).
Traspuesta de una matriz
La traspuesta de una matriz A consiste en intercambiar las filas por las columnas y se denota por AT.
Así, la traspuesta de


En otras palabras, si A = (ai j ) es una matriz m ð n, entonces AT =
es la matriz n ð m. La trasposición de una matriz cumple las siguientes propiedades:
1. (A + B)T = AT + BT.
2. (AT)T = A.
3. (kA)T = kAT (si k es unescalar).
4. (AB)T = BTAT.
Matrices simétricas
Se dice que una matriz real es simétrica, si AT = A; y que es antisimétrica,
Si AT = -A.
Ejemplo:
Consideremos las siguientes matrices:


Podemos observar que los elementos simétricos de A son iguales, o que AT = A. Siendo así, A es simétrica.
Para B los elementos simétricos son opuestos entre sí, de este modo B es antisimétrica.
A simplevista, C no es cuadrada; en consecuencia, no es ni simétrica ni antisimétrica.
Matrices ortogonales
Se dice que una matriz real A es ortogonal, si AAT = AT A = I. Se observa que una matriz ortogonal A es necesariamente cuadrada e invertible, con inversa A-1 = AT.
Consideremos una matriz 3 ð 3 arbitraria:

Si A es ortogonal, entonces:

Matrices normales
Una matriz es normal si conmuta con su...