Matrices y Determinants

MATRICES Y DETERMINANTES
Definición de matriz
Se llama matriz de orden m×n a todo conjunto rectangular de elementos aij dispuestos en m líneas horizontales (filas) y n verticales (columnas) de la forma:

Abreviadamente suele expresarse en la forma A =(aij), con i =1, 2, ..., m, j =1, 2, ..., n. Los subíndices indican la posición del elemento dentro de la matriz, el primero denota la fila ( i) y el segundo la columna ( j ). Por ejemplo el elemento a25 será el elemento de la fila 2 y columna 5.

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Tipos de matrices:
Matriz fila:
Es una matriz que solo tiene una fila, es decir m =1 y por tanto es de orden 1 x n.

(a11

a12

a13 K a1n )

Matriz columna: Es una matriz que solo tiene una columna, es decir, n =1
y por tanto es de orden m x 1.
 a11    a21  a   31   M  a   m1 

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Tipos de matrices:
Es aquella que tiene el mismo número de filas que de columnas, es decir m = n. En estos casos se dice que la matriz cuadrada es de orden n, y no n x n. Los elementos aij con i = j, o sea aii forman la llamada diagonal principal de la matriz cuadrada, y los elementos aij con i + j = n +1 la diagonalsecundaria.

Matriz cuadrada:

 a11   a21 a  31 K a  n1

a12 a22 a32 K an 2

a13 K a1n   a23 K a2 n  a33 K a3n   K K K an 3 K ann  

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Tipos de matrices:
Matriz traspuesta: Dada una matriz A, se llama traspuesta de A, y se representa por
At, a la matriz que se obtiene cambiando filas por columnas. La primera fila de A es la primera fila de At , lasegunda fila de A es la segunda columna de At, etc.

De la definición se deduce que si A es de orden m x n, entonces At es de orden n x m.

Matriz simétrica: Una matriz cuadrada A es simétrica si A = At, es decir,
si aij = aji ∀ i, j. Matriz antisimétrica: Una matriz cuadrada es antisimétrica si A = –At, es decir, si aij = –aji ∀ i, j.

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Tipos de matrices:
Matriz nulaes aquella que todos sus elementos son 0 y se representa por 0

La matriz

es una matriz nula de orden 3

La matriz

es una matriz nula de orden 2 x 4

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Tipos de matrices:
Matriz diagonal: Es una matriz cuadrada, en la que todos los elementos no
pertenecientes a la diagonal principal son nulos.

Matriz escalar: Es una matriz diagonal con todos los elementosde la diagonal
iguales

Matriz unidad o identidad: Es una matriz escalar con los elementos de la
diagonal principal iguales a 1.

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Tipos de matrices:
Matriz Triangular:
Es una matriz cuadrada que tiene nulos todos los elementos que están a un mismo lado de la diagonal principal. Las matrices triangulares pueden ser de dos tipos:

Triangular Superior: Si loselementos que están por debajo de la
diagonal principal son todos nulos. Es decir, aij = 0 ∀ i < j.

Triangular Inferior: Si los elementos que están por encima de la
diagonal principal son todos nulos. Es decir, aij = 0 ∀ j < i.

matriz triangular inferior

matriz triangular superior

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Operaciones con matrices
Trasposición de matrices Suma y diferencia de matricesProducto de una matriz por un número Propiedades simplificativas Producto de matrices Matrices inversibles

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Operaciones con matrices Trasposición de matrices
Dada una matriz de orden m x n, A = (aij), se llama matriz traspuesta de A, y se representa por At, a la matriz que se obtiene cambiando las filas por las columnas (o viceversa) en la matriz A. Es decir:Propiedades de la trasposición de matrices:
1ª.- Dada una matriz A, siempre existe su traspuesta y además es única. 2ª.- La traspuesta de la matriz traspuesta de A es A. (At)t = A.

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Operaciones con matrices Suma y diferencia de matrices
La suma de dos matrices A=(aij), B=(bij) de la misma dimensión, es otra matriz
S=(sij) de la misma dimensión que los sumandos y con...