Matrices

CAP´ ıTULO 1

Teor´ de Anillos ıa
1. Conceptos b´sicos de Teor´ de Anillos a ıa

´ Definicion 1.1. Un anillo es un conjunto R junto con dos operaciones + y · que verifican las siguientes condiciones:

1. (R, +) es un grupo abeliano; 2. · es una operaci´n asociativa; o 3. la operaci´n · es distributiva con respecto a +, es decir, ∀x, y, z ∈ o R, se cumplen (x + y)z = xz + yz, z(x + y) = zx +zy.

Si la operaci´n · es conmutativa, el anillo se llama conmutativo. Se o dice que un anillo es unitario si la operaci´n · posee un elemento neuo tro. Normalmente usamos 1 ´ 1R para el elemento neutro. El elemento o o a neutro con respecto a la suma se denota 0R ´ 0 si est´ claro de que anillo se trata. Ejercicio 1.1. Demostrar que un anillo puede tener solamente un elemento neutro conrespecto a la suma y un elemento neutro con respecto a la multiplicaci´n. o Ejemplos 1.1. 1. Los siguientes sistemas algebraicos son anillos: (Z, +, ·), Z[i] = {a + bi | a, b ∈ Z}. 2. Q, R y C son anillos con las operaciones est´ndar. a 3. Si R es un anillo entonces las matrices Mn (R) sobre este anillo tambi´n lo es. e 4. (N, +, ·), (R≥0 , +, ·) no son anillos. 5. R[x] = {p(x)|p(x) polinomio concoeficientes en R} con las operaciones naturales es un anillo. Como R[x] es un anillo, podemos considerar R[x][y]. Este anillo se denota m´s brevea mente por R[x, y]. El proceso puede repetirse hasta obtener el
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1. TEOR´ DE ANILLOS IA

anillo en n indeterminadas x1 , · · · , xn : R[x1 , · · · , xn ] = {
i1 ,··· ,in

ai1 ,··· ,in xi1 · · · xin |ai1 ,··· ,in ∈ R}. 1 n

Como vemos de losejemplos anteriores, muchos sistemas algebraicos que conocemos son anillos. Este es un motivo de la introducci´n del o concepto abstracto de anillo. Trabajando con un anillo abstracto demostramos teoremas para n´meros enteros, polinomios, matrices, etc., u al mismo tiempo. Sin embargo, no es el unico motivo para estudiar los ´ anillos. Como vamos a ver, la aparici´n de nuevos ejemplos nos ayuda o aentender mejor los antiguos y de esta forma nos indica los caminos para resolver distintos problemas. En el siguiente lema vamos a ver las primeras propiedades elementales de los anillos. Lema 1.1. Sea R un anillo, entonces 1. para cualquier r ∈ R tenemos r · 0 = 0 · r = 0; 2. para todo r y s ∈ R se cumple (−r) · s = −(r · s). ´ Demostracion. (i) Como r ·0 = r ·(0+0) = r ·0+r ·0, obtenemos que r ·0 = 0. De la misma forma 0 · r = 0. (ii) Por la definici´n de anillo (R, +) es un grupo. Por eso rs tiene un o s´lo opuesto y por lo tanto tenemos que demostrar que (rs)+(−r)s = 0. o En efecto, aplicando la propiedad distributiva, tenemos que rs + (−r)s = (r + (−r))s = 0s = 0.

2.

Subanillos y ideales

El mayor objetivo de la teor´ de anillos es la clasificaci´n de toıa o dos los anillos. Esclaro que en general este problema es muy dif´ ıcil o probablemente imposible. Pero es posible clasificar algunas familias de anillos bajo unas restricciones. Es razonable pensar que primero podemos clasificar los anillos m´s peque˜os y a partir de ellos los m´s a n a grandes. Esto nos motiva a dar la siguiente definici´n o ´ Definicion 1.2. Sea R un anillo. Se dice que un subconjunto S de R es unsubanillo si S es un subgrupo de (R, +) y para todo s1 y s2 ∈ S tenemos que s1 s2 ∈ S. Ejemplos 1.2.

3. ANILLOS COCIENTES

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1. Z y Q son subanillos de R, R y Z[i] son subanillos de C. 2. N y R∗ = {r ∈ R|r = 0} no son subanillos de R. Los subanillos en un anillo juegan el papel de subgrupos en un grupo. En la teor´ de grupos se introduce tambi´n el concepto de un ıa e subgrupo normal. Esteconcepto est´ relacionado con grupos cocientes a y homomorfismos de grupos. En la teor´ de anillos una noci´n an´loga ıa o a a un subgrupo normal es un ideal. ´ Definicion 1.3. Sea R un anillo. Se dice que un subconjunto I de R es un ideal si I es un subgrupo de (R, +) y para todo r ∈ R y m ∈ I tenemos que rm, mr ∈ I. Ejemplos 1.3. 1. Sean R = Z e I = nZ = {nz | z ∈ Z}. Entonces I es un ideal...