Matrices

MATRICES
Las matrices se utilizan en el cálculo numérico, en la resolución de sistemas de ecuaciones lineales, de las ecuaciones diferenciales y de las derivadas parciales. Además de su utilidad para el estudio de sistemas de ecuaciones lineales, las matrices aparecen de forma natural en geometría, estadística, economía, informática, física, etc.
La utilización de matrices constituyeactualmente una parte esencial de los lenguajes de programación, ya que la mayoría de los datos se introducen en los ordenadores como tablas organizadas en filas y columnas: hojas de cálculo, bases de datos, etc.

CONCEPTO DE MATRIZ
Una matriz es una tabla cuadrada o rectangular de datos (llamados elementos o entradas de la matriz) ordenados en filas y columnas, donde una fila es cada una de laslíneas horizontales de la matriz y una columna es cada una de las líneas verticales. A una matriz con m filas y n columnas se le denomina matriz m-por-n (escrito m×n), y a m y n dimensiones de la matriz. Las dimensiones de una matriz siempre se dan con el número de filas primero y el número de columnas después. Comúnmente se dice que una matriz m-por-n tiene un orden de m × n ("orden" tiene elsignificado de tamaño).
Las matrices se denotan con letras mayúsculas: A, B, C,... y los elementos de las mismas con letras minúsculas y subíndices que indican el lugar ocupado: a, b, c,... Un elemento genérico que ocupe la fila  i  y la columna  j   se escribe  aij . Si el elemento genérico aparece entre paréntesis también representa a toda la matriz: A = (aij).

Ejemplo:[pic]                    [pic]

TIPOS DE MATRICES
FILA: Aquella matriz que tiene una sola fila, siendo su orden  1×n. Ejemplo:
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COLUMNA: Aquella matriz que tiene una sola columna, siendo su orden  m×1. Ejemplo:
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RECTANGULAR: Aquella matriz que tiene distinto número de filas que de columnas, siendo su orden  m×n ,[pic] Ejemplo:
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TRASPUESTA: Dada una matriz  A, se llama traspuesta de A a lamatriz que se obtiene cambiando ordenadamente las filas por las columnas. Se representa por  At  ó  AT. Ejemplo:
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OPUESTA: La matriz opuesta de una dada es la que resulta de sustituir cada elemento por su opuesto. La opuesta de  A  es -A. Ejemplo:
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NULA: Si todos sus elementos son cero. También se denomina matriz cero y se denota por 0m×n. Ejemplo:
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CUADRADA:Aquella matriz que tiene igual número de filas que de columnas, m = n, diciéndose que la matriz es de orden n.
Diagonal principal: son los elementos  a11 , a22 , ..., ann 
Diagonal secundaria : son los elementos  aij con   i+j = n+1
Traza de una matriz cuadrada: es la suma de los elementos de la diagonal principal tr A.
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Diagonal principal:[pic] Diagonal secundaria:[pic]

SIMÉTRICA:Es una matriz cuadrada que es igual a su traspuesta. A = At  , aij = aji. Ejemplo:
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ANTISIMÉTRICA: Es una matriz cuadrada que es igual a la opuesta de su transpuesta. A = -At  , aij = -aji , Necesariamente  aii = 0. Ejemplo:
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DIAGONAL: Es una matriz cuadrada que tiene todos sus elementos nulos excepto los de la diagonal principal. Ejemplo:
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ESCALAR: Es una matrizcuadrada que tiene todos sus elementos nulos excepto los de la diagonal principal que son iguales. Ejemplo:
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IDENTIDAD: Es una matriz cuadrada que tiene todos sus elementos nulos excepto los de la diagonal principal que son iguales a 1. También se denomina matriz unidad. Ejemplo:
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TRIANGULAR: Es una matriz cuadrada que tiene todos los elementos por encima (por debajo) de la diagonalprincipal nulos. Ejemplo:
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ORTOGONAL: Una matriz ortogonal es necesariamente cuadrada e invertible: A-1 = AT
← La inversa de una matriz ortogonal es una matriz ortogonal.
← El producto de dos matrices ortogonales es una matriz ortogonal.
← El determinante de una matriz ortogonal vale +1 ó -1.
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NORMAL: Una matriz es normal si conmuta con su...