Matrices

1. MATRICES, DETERMINANTES Y SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES
¿Qué es una matriz de orden m x n?

 a 11   a 21 A= .   .   a m1

a 12 a 22 . . am2

. . a 1n   . . a 2n  . . .   . . .   . . a mn 

− 1 2 0   1 3 5 
2x3

2 − 1 6   0 0 3  1 5 9  
3x3

(0 3 − 5 2 )
1x4

 1    − 1  6      3
4x1

0 0   0 0 
2x2

• Si m ≠ n, A esrectangular • Si m = n, A es cuadrada

a23 a33

Matriz Nula, θ

1. MATRICES, DETERMINANTES Y SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES
Sea A cuadrada de orden n.
 a 11 a 12   a 21 a 22 A= . .  .  .   a n1 a n 2 . . a 1n   . . a 2n  . . .   . . .   . . a nn 

Diagonal principal de A

•A es diagonal si son nulos todos los elementos fuera de la diagonal principal • A es triangularsuperior si son nulos todos los elementos por debajo de la diagonal principal • A es triangular inferior si son nulos todos los elementos por encima de la diagonal principal

 1 0 0   0 − 2 0 0 0 3  

 1 5 0   0 − 2 7 0 0 3  

0 0  1    − 4 − 2 0  3 5 3  

1. MATRICES, DETERMINANTES Y SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES
Sea A cuadrada de orden n.
 a 11 a 12  a 21 a 22 A= . .  .  .   a n1 a n 2 . . a 1n   . . a 2n  . . .   . . .   . . a nn 

Diagonal principal de A

• A es simétrica si son iguales los elementos simétricos respecto de la diagonal principal 1 5 0

    5 − 2 7 0 7 3  

• A es antisimétrica si son nulos los elementos de la diagonal principal y opuestos los elementos simétricos respecto de la misma  0 − 5 3  5 0 7   − 3 − 7 0  

1. MATRICES, DETERMINANTES Y SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES
OPERACIONES CON MATRICES
SUMA: A + B, matrices del mismo orden

 − 1 2 0 0 3 − 2  -1 . .   − 1 5 − 2   + =   =  . 4 .   2 4 13  1 3 5  1 1 8   

PRODUCTO DE UNA MATRIZ POR UN NÚMERO REAL: αA

§ 2 3 · § − 10 − 15 · ¨ ¸ ¸ ¨ 5 ¸ ¨ 0 − 1¸ ¨ 0 −5¨ =¨ 0 1¸ 0 −5 ¸ ¨ ¨ 2 6 ¸ ¨− 10 − 30 ¸ ¸ ¸ ¨ ¹ © ¹ ©

1. MATRICES, DETERMINANTES Y SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES
TRASPUESTA DE UNA MATRIZ DE ORDEN m x n: At

−1 2    − 1 5 − 2  4   = 5 2 4 13      − 2 13 
t

Observación: si A es cuadrada, entonces: A simétrica A antisimétrica ⇒ ⇒ At = A At = -A

PRODUCTO DE DOS MATRICES: AB

El número de columnas de A ha de ser igual al número de filas de BAm x n B n x p = Cm x p

1. MATRICES, DETERMINANTES Y SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES
§ − 1 1 0 − 1· ¸  c11 c12 § − 1 2 0 ·¨ 5 1 1 ¸ = ¨ ¸¨ 2  2 3 − 1¹¨ © ¸  c 21 c 22 © 0 −2 0 0 ¹
2x3 3x4

c13 c 23

c14   c 24  

(-1)(-1)+2⋅2+0⋅0=5 ⋅ ⋅
5 9 2 3 C=  4 19 3 1  

(-1)⋅1+2⋅5+0⋅(-2)=9 ⋅ ⋅ ⋅

1. MATRICES, DETERMINANTES Y SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES
DETERMINANTE DEUNA MATRIZ CUADRADA DE ORDEN 2:

a11

a12

a 21 2 5 3 1

a 22

= a11a 22 − a12a 21 1 1 = 1 ⋅ 2 − 1 ⋅ ( −1) = 3

= 2 ⋅ 1 − 5 ⋅ 3 = −13

−1 2

DE ORDEN 3:

a11 a 21 a 31

a12 a 22 a 32

a13 a 23 = a11a22a33 + a12a23a31 + a21a32a13 a 33 a a a - a a a - a a a 13 22 31 21 12 33 23 32 11

1. MATRICES, DETERMINANTES Y SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES
1 1 0 −1 2 3 = 4+ 0+ 0− 0+ 3+2 = 9 0 −1 2

DE ORDEN SUPERIOR A TRES: Sea A una matriz cuadrada de orden n Menor complementario del elemento aij: es el determinante de orden n-1 que se obtiene al suprimir en A la fila i y la columna j. Se denota por αij.
2 −1 3  1 2 −1 A= 0 −1 2   4 3 −1 4 1 2 0 −1 3 4  0  α 13 = 0 − 1 5 = 23 α 41 = 2 − 1 0 = −13 5  4 3 2 −1 2 5  2

1. MATRICES, DETERMINANTES Y SISTEMAS DEECUACIONES LINEALES
Adjunto del elemento aij:
α ij A ij =   − α ij si i + j par si i + j impar

En el ejemplo anterior, A13= 23, A41=13
PROPIEDADES DE LOS DETERMINANTES:

1. El determinante de una matriz y de su traspuesta son iguales 2. Si una fila o columna de una matriz tiene todos sus elementos
nulos, entonces el determinante de la matriz es igual a cero.

3. Si una matriz tiene...