Matrices

Departamento de Matem´tica Aplicada
a
´
CALCULO COMPUTACIONAL.
Licenciatura en Qu´
ımica (Curso 2005-06)
Sistemas de ecuaciones lineales Pr´ctica 2
a
En esta pr´ctica vamos a ver c´mo sepueden resolver sistemas de ecuaciones lineales utilizando Matlab.
a
o

1.

Sistemas de ecuaciones lineales
Un sistema de ecuaciones lineales,

a11 x1 + a12 x2 + . . . + a1n xn = b1


a21 x1 + a22 x2 + . . . + a2n xn = b2
.
.
.


am1 x1 + am2 x2 + . . . + amn xn = bm
con m ecuaciones y n inc´gnitas se puede escribir en forma matricial,
o
Ax = b
donde,


a11
 a21
A= .
 .
.

am1

a12
a22
am2


x1
 x2 
 
x= . 
 . 
.



a1n
a2n 

;

. . . amn
...
...

xn

y


b1
 b2 
 
b= . 
 . 
.


bmVamos a ver mediante algunos ejemplos y ejercicios c´mo se pueden resolver los sistemas de ecuaciones lineales
o
utilizando algunos de los comandos de Matlab descritos anteriormente.
Ejemplo 1Consideremos el sistema,

2x − y + z = 3

x+y
=3


y − 3z = −7

entonces, siguiendo la notaci´n anterior,
o


2 −1 1
0 ,
A = 1 1
0 1 −3

 
x
x = y 
z

y


3
b= 3 −7


Como se trata de un sistema con soluci´n unica, ya que el determinante de A es distinto de cero,
o ´
>>det(A)
ans =
-8
Una forma de resolver el sistema es escribir la matriz orlada (oampliada)
>>Ab=[A b]
y hacer rref(Ab) con lo que obtenemos


1 0 0 1
0 1 0 2
0 0 1 3
7

es decir, la soluci´n es x = 1, y = 2, z = 3.
o
Otra forma de resolver el sistema consiste endespejar x,
x = A−1 b,
sin m´s que escribir
a
>>x=inv(A)*b
x =
1
2
3
Hay otra forma de hacerlo, utilizando lo que en Matlab se denomina como divisi´n matricial a la izquierda:
o
>>x=A\b
x =1
2
3
En este caso, el resultado es el mismo, pero es diferente la forma en la que trabaja el ordenador. En este segundo
caso el m´todo que utiliza es el de la factorizaci´n LU, que es una...