matrices

Tema I. Matrices y determinantes
1. Matrices sobre un cuerpo ©2007 Carmen Moreno Valencia
2. Operaciones con matrices
3. Determinante de una matriz cuadrada
4. Menor complementario y adjunto
5. Cálculo de determinantes
6. Inversa de una matriz cuadrada
7. Rango de una matriz
1. Matrices sobre un cuerpo
Definición. Sea K un cuerpo. Se llama matriz
A de m filas y n columnas sobre K alconjunto
de mn elementos de K dispuestos en m filas y
n columnas,
 a11
a
 21
A =  a31


a
 m1

a12
a22
a32

a13
a23
a33

am 2

am 3

a1n 
a2 n 

a3n 


amn 


• A = ( aij),

i=1, 2, ..., m;

aij ŒK

Matrices 2

j=1, 2, ..., n.

• El elemento que ocupa la fila i y la columna j
se representa aij,

2. Producto por escalares

• Mmxn(K):Conjunto de todas las matrices

sobre K de m filas y n columnas.
Ej.


1

π
1

2


2 

−1  ∈ M 3×2 (R)

− 2


• Matriz Fila: A ŒM1xn(K)

A = (1 π

Matrices 3

−1) ∈ M 1×3 (R)

• Matriz Columna: AŒMmx1(K)

 1 
 
A =  3  ∈ M 3×1 (R)
 2
 

• Matriz cuadrada de orden n: AŒMnxn(K).
Tiene el mismo número de filas que de
columnas

• DiagonalPrincipal de A la forman los

elementos de la forma aii (iguales subíndices)

Matrices 4

• Matriz cuadrada diagonal: Sus únicos

elementos no nulos son los de la diagonal
principal.
• Matriz cuadrada unidad In :(o Identidad)
Matriz cuadrada diagonal con unos en la
diagonal principal y ceros en las restantes
posiciones: aii=1; aij=0, iπj

• Matriz triangular Una matriz cuadrada A =( aij ) se dice que es triangular si, o bien por
encima o bien por debajo de la diagonal, los
elementos son todos nulos, es decir, aij = 0
para todo i < j o bien aij = 0 para todo i >j

Matrices 5

• Dos matrices, A,B ŒMmxn(K) son iguales
cuando aij=bij, i=1,..., m, j=1,...,n

•Se llama submatriz de A a toda matriz
obtenida de eliminar filas y/o columnas de A.
Ej.
 1 −2 −1
A =2 4

 0 −1


 ∈ M (R)
3



 1 −2 
Una submatriz de A es
B =  2 4  ∈ M 3×2 (R)


 0 −1 


3
0

2. Operaciones con matrices
1. Suma
Sean A,B ŒMmxn(K). A = ( aij), B = ( bij)
A+B = ( cij) ŒMmxn(K) con cada cij=aij+bij
i=1,..., m, j=1,...,n
Ej.

 1 −1
A=
2 1
1
A+ B = 
4

0
0 0 1 
 , B =  2 1 −1 ∈ M 2×3 (R)
0


−1 1 
 ∈ M 2×3 (R)2 −1

• (Mmxn(K), +): Grupo Abeliano
• El elemento neutro
0 = (0)i =1,..,m
j =1,.., n

• La opuesta de A:

− A = (− aij )i =1,..,m
j =1,.., n

0
=

0


 − a11
=

 −a
 m1

Matrices 6

0


0

− a1n 


− amn 


2. Producto por escalares
λŒK, A ŒMmxn(K)

λ ⋅ A = λ ⋅ ( aij )i =1,..,m = ( λ ⋅ aij )i =1,..,m =
j =1,.., n

 λ a11
=
 λa
 m1

j =1,.., n

λ a1n 



λ amn 


Ejemplo
(Mmxn(K), +, ·): Espacio vectorial sobre K

3. Producto de matrices

Matrices 7

• A·B: nº de Columnas de A = nº Filas de B
• AŒMmxn, BŒMnxp , se define la matriz
producto C= A · B = (cij), ŒMmxp

cij = ai1·b1j + ai2·b2j + ai3·b3j + . . . + ain· bnj
k =n

= ∑ aik ⋅ bkj
k =1

Ejemplo

Matrices 8

Propiedades
•Asociativa A(BC)=(AB)C
•Distributiva resp.de la suma A(B+C)=AB+AC
(A+B)C=AC+BC
• λ·(AB)=(λ·A)B=A(λ·B)

(Mn(K), +, ·): Anillo unitario
Unidad del anillo: In: A· In= In·A=A
• El producto de matrices no es conmutativo:

4. Matriz traspuesta
Dada A = ( aij) ŒMmxn(K), la matriz
Traspuesta de A,
At=(bij) ŒMnxm(K), bij=aji, i=1,..,n; j=i,..,m

Matrices 9

Propiedades
Sean A, BŒMmxn(K) ,C ŒMnxp (K).
• (A+B)t=At+Bt
• (AC)t=CtAt
• (At)t=A
• (λA)t=λ(A)t
Una matriz cuadrada es simétrica si
A = At, (aij = aji para todos i, j)
Sus elementos tienen simetría respecto de
la diagonal principal.

Matrices 10

Una matriz cuadrada es antisimétrica si
A = -At, (aij = -aji para todos i, j)
Los elementos de la diagonal principal
son nulos
 0 −1 −2 
 0 1 2
A =  1 0...