Matrices

Matrices
Estefany Martínez García January 12, 2012

Una matriz es una tabla ordenada de escalares aij de la forma :
 a11  a21   ... am1 a12 a22 ... am2 . . . . . . . . . . . .  a1n a2n   ...  amn

La matriz anterior se denota también por aij , con i = 1, ..., m, j = 1, ..., n o simplemente por aij . Los términos horizontales son las las de la matriz y los verticales son suscolumnas. Una matriz con m las y n columnas se denomina matriz m por n , o matriz mxn . Las matrices se denotarán usualmente por letras mayúsculas, A, B, ..., y los elementos de las mismas por minúsculas, a, b, ... Ejemplo: La siguiente matriz es una matriz 2x3 :
1 0 −3 5 4 −2 1 0

Donde sus las son (1, −3, 4)y(0, 5, −2)y sus columnas y
4 −2

,

−3 5

En el estudio de algunos temas dematemáticas y en muchas aplicaciones aparecen arreglos rectangulares de elementos. Por ejemplo, al estudiar sistemas de ecuaciones lineales, es decir sistemas de la forma
  a11   a21  .   am1 x1 x1 . x1 + a12 + a22 . . + am2 x2 x2 . x2 + ... + a1n + ... + a2n . . . . + ... + amn xn xn . xn = = . = b1 b2 . bm       

Podemos formar con los coecientes dex1 , x2 , ..., xn , el siguientearreglo :
 a11  a21   ... am1 a12 a22 ... am2 . . . . . . . . . . . .  a1n a2n   ...  amn

1

A este tipo de arreglos les llamaremos matrices. Hablaremos de renglones y columnas de una matriz. Así, diremos que la matriz anterior tiene m renglones y n columnas. A veces, para abreviar, diremos que es una matriz de mxn con los tèrmnos libres del sistema de ecuaciones mencionado podemosformar una matrizmx1 :
        b1 b2 . . . bm        

Veamos un ejemplo con los coecientes y con los términos libres del sistema:
  3x + 2y − z = 1   x−y =3 x − 2y + 3z = −1

Podemos formar las matrices :
 3  1 1 2 −1 −2   1 −1 0  3  −1 3

En general los elementos con que se forman matrices son elementos de un cierto campo. Consideramos matrices formadas connúmeros complejos o con elementos de un campo cualquiera. Como lo hicimos al escribir la matriz del sistema de ecuaciones con el que iniciamos, se acostumbra denotar conaij al elemento que ocupa el renglóni y la columna j . Asì, por ejemplo,a24 es el elemento que ocupa el segundo renglón en la cuarta columna y a42 el que ocupa el cuarto renglón y la segunda columna. Asì una matriz como la anterior ladenotaremos a veces:
(aij ) , (1 ≤ i ≤ m, 1 ≤ j ≤ n)

Indicando el número de renglones y en de columnas o bien, si estos se sobre entienden, simplemente escribimos(aij ) a las matrices de nxn las llamaremos matrices cuadradas, en una matriz cuadrada, a los elementos de la forma aii les llamaremos en una matriz cuadrada elementos diagonales y diremos que a11 , a22 , ..., ann es la diagonalprincipal. Si en una matriz cuadrada todos los elementos no diagonales son cero, diremos que la matriz es diagonal. Por ejemplo :
 1 0 0 1 1  0 0 0 −3 0  0 0 0  0 2 0 0 1 0  0 0  2

Los elementos (aij ) con i < j diremos que están debajo de la diagonal y los(aij ) con i < j diremos que están arriba de la diagonal. Una matriz cuadrada 2

se dice que es triangular si todos los elementosdebajo de la diagonal son cero. Por ejemplo :
 1 0 1 1 −1 −1 0 −3 1  2 1 0 0 5  0 0  3

Son matrices triangulares. A las matrices que constan de cero se les llaman matrices nulas, ò matrices ceros. Las matrices de 1x1 , (a11 ) , se pueden identicar con los números reales (a11 ) . Con fracciones será conveniente pensar en los renglones de una matriz de mxn :
a11  a21  A= ... am1  a12 a22... am2  . . . a1n . . . a2n   . . . ...  . . . amn

como vectores del espacio vectorialRn :
R1 R2 .... Rm = (a11 , a12 , ....a1n ) = (a21 , a22 , ..., a2n ) .... ...................... = (am1 , am2 , ..., amn )

Si la matrizB se obtiene suprimiendo cualquier número de renglones y de columnas de cierta matriz A , se dirà que B es una submatriz de la matriz A . Por ejemplo, si
1 2 A=...