Matrices

1. Matrices.
Manuel Palacios
Departamento de Matem´tica Aplicada
a
Centro Polit´cnico Superior
e
Universidad de Zaragoza

Contents
1 Introducci´n y definiciones
o

2

2 Algebra matricial.

3

3 Matrices por bloques.

5

4 Determinante de una matriz cuadrada.

8

References
[1] Burgos, J. de: Algebra lineal. McGraw-Hill. 1993.
[2] Garc´ J. y L´pez Pellicer, M.: Algebra lineal y Geometr´ Marfil,1980.
ıa,
o
ıa.
[3] Griffel, D. H.: Linear Algebra and its applications. Ellis Horwood, 1989.
[4] Guti´rrez G´mez, A. y Garc´ Castro, F.: Algebra lineal 2. Pir´mide.
e
o
ıa
a
[5] Hern´ndez, E.: Algebra y Geometr´ Addison-Wesley Iberoamericana, 1994
a
ıa.
[6] Merino, L. y Santos, E.: Algebra lineal con m´todos elementales. Ed. Los autores, Universidad
e
de Granada. 1997.
[7] Strang, G..: Linear Algebraand its Applications. 3th ed. Hardcourt Brace Jovanovich, Inc.,
1988.

M. Palacios

1

1. Matrices.

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Introducci´n y definiciones
o

Los comienzos de las matrices y determinantes se remonta al siglo segundo BC, incluso antes. Pero
no es hasta el siglo XVII cuando las ideas reaparecen y se formulan adecuadamente. Eminentes
matem´ticos de este tiempo, como Leibnitz, MacLaurin, Cramer, etc.trabajaron en este campo.
a
La primera definici´n abstracta del concepto de matriz se debe a Cayley (1841).
o
En todo este cap´
ıtulo supondremos que K es cuerpo conmutativo, aunque este concepto se
puede definir sobre un conjunto C cualquiera, por ejemplo, polinomios.
Definici´n 1.1 Sean Im = {1, 2, ..., m} , In = {1, 2, ..., n} dos conjuntos finitos de ´
o
ındices. Se
denomina matriz de tipo m x n sobre Ka toda aplicaci´n
o
A : Im × In −→ K
(i, j ) −→ aij
Habitualmente, identificaremos la matriz con
cuadro en la forma

a11 a12
a
 21 a22
A=

···
am1 am2

el conjunto imagen y la representaremos como un
···
···

a1j
a2j

· · · amj

···
···



a1n
a2n 


· · · amn




Veamos a continuaci´n algunas definiciones de conceptos relacionados con las matrices.
o
El sub´
ındice i suele denominarse ´ındice de filas y el sub´
ındice j ´
ındice de columnas.
e
Fijado el ´
ındice de filas i, la familia {aij |j = 1, 2, ..., n} se llama fila i-´sima de la matriz A y
la denotaremos por Ai . An´logamente, fijado el ´
a
ındice de columnas j, la familia {aij |i = 1, 2, ..., m}
se llama columna j-´sima y la denotaremos por Aj .
e
Si una matriz es del tipo 1 x n se le dir´ matriz fila; si es del tipo m x 1 sele dir´ matriz
a
a
columna.
El conjunto {aij |j = 1, 2, ..., min(m, n)} se llama diagonal principal de la matriz A.
Llamaremos submatriz o bloque de una matriz A a cualquier matriz obtenida suprimiendo
alguna o algunas filas o columnas de A.
Llamaremos matriz diagonal a toda matriz cuyos elementos no pertenecientes a la diagonal
principal sean nulos.
Llamaremos traspuesta de una matriz A de tipo m ×n y la denotaremos por AT a una matriz
de tipo n × m cuyos elementos est´n definidos por aT = aji .
a
ij
Evidentemente, para obtener la traspuesta de una matriz ser´ suficiente cambiar ordenadamente
a
las filas por las columnas de la misma.
Si m = n, diremos que A es una matriz rectangular; el conjunto de matrices rectangulares
de tipo m × n ser´ denotado por Mm×n (K ) o MK (m, n) o K m×n .
a
´
´
Sim = n, diremos que A es una matriz cuadrada; el conjunto de matrices cuadradas de tipo
n × n ser´ denotado por Mn (K ) o MK (n).
a
´

M. Palacios

2

1. Matrices.

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Algebra matricial.

Veremos en este p´rrafo el algebra matricial, es decir, las operaciones que usualmente se definen en
a
´
los distintos conjuntos de matrices.
Definici´n 2.1 Sean A = (aij ), B = (bij ) dos matrices cualesquiera deMK (m, n), llamaremos
o
suma de A y B, A + B, a la matriz de MK (m, n) cuyo elemento gen´rico (i,j) est´ definido por
e
a
cij = aij + bij , es decir,
A + B = (aij + bij )
Notemos que esta operaci´n est´ definida exclusivamente entre matrices del mismo tipo, y es
o
a
una ley de composici´n interna, es decir, el resultado pertenece al mismo conjunto de matrices.
o
Definici´n 2.2 Dada la matriz A =...