Matrices



Nomenclatura/Definiciones
Matriz: Es un conjunto de expresiones numéricas organizadas tabularmente (en forma de tabla) en filas y columnas. Toda la matriz se agrupa mediante el símbolo de corchetes “[ ]” o el de paréntesis extendido “( )” colocado exteriormente.
Nomenclatura: Las filas de las matrices se numeran ascendentemente de arriba hacia abajo, desde el “1” en adelante; mientras quela numeración de las columnas crece de izquierda a derecha, también a partir del número “1”. Ejemplos de matrices:







Operaciones con Matrices
Sumas de Matrices: Para sumar matrices se requiere que tengan el mismo orden (todas las matrices sumando deben tener igual número de filas, y todas las matrices requieren igual número de columnas). La Suma de Matrices es otra matriz del mismoorden que los matrices sumandos, en la que cada elemento de la matriz resultado se calcula sumando los elementos que ocupan la misma posición en las matrices originales.

Producto de un Número por una Matriz: Al multiplicar un Escalar por una Matriz se obtiene otra matriz del mismo orden que la matriz original, en la que cada elemento de la matriz resultado se calcula multiplicando el númeroescalar por el elemento que ocupa la misma posición.

Producto de una Matriz Fila por una Matriz Columna: Si  u = (a, b)  y  v = (c, d)  son dos vectores, su producto escalar es:   u*v = a*c + b*d. De forma análoga, se puede definir el producto de una matriz fila por una matriz columna:

Es evidente que el número de elementos de la matriz fila tiene que ser igual al número de elementos de lamatriz columna
Producto de Matrices: Para multiplicar matrices se requiere que el número de columnas de la primera matriz sea igual al número de filas de la segunda matriz. La Multiplicación de 2 matrices es otra matriz cuyo número de filas es el número de filas de la primera matriz, y cuyo número de columnas es el número de columnas de la segunda matriz.
Cada elemento del matriz producto se obtienesumando los productos ordenados de los elementos de la fila correspondiente en la primera matriz y de la columna correspondiente en la segunda matriz.

Matrices Cuadradas
Cuando el número de filas y de columnas de una matriz son iguales se está tratando con “Matrices Cuadradas”.
Matriz Unidad o Matriz Identidad: Cuando todos los elementos de la matriz tienen valor “cero”, con excepción de loselementos de la diagonal principal que tienen valor unitario (1), se trabaja con una “Matriz Identidad”.
La Matriz Identidad se simboliza mediante la letra “I”, y se puede especificar su orden con un único subíndice (“I5” representa a la matriz identidad de 5 filas y 5 columnas). En el álgebra matricial, la Matriz Identidad tiene un papel similar al del número “uno” (la unidad) del álgebratradicional.

Matriz Inversa: Se dice que una matriz cuadrada es la inversa de otra de la misma dimensión cuando al multiplicarlas el resultado es una matriz identidad. Si se tiene una matriz cuadrada “A” (o [A]), su inversa se representa “A-1” (o [A] -1) La operación de multiplicación entre una matriz “A” y su inversa se simboliza:
A*A-1=I o A-1*A=I
Si la matriz inversa pre multiplica a la matrizestudiada, se la llama Matriz Inversa Izquierda, y si la matriz inversa pos multiplica a la matriz original, se la llama Matriz Inversa Derecha.


Método de Gauss: Sea A = (ai j ) una matriz cuadrada de orden n. Para calcular la matriz inversa de A, que denotaremos como A-1, seguiremos los siguientes pasos:
 
Paso 1. Construir la matriz n ´ 2n M = (A I ) esto es, A está en la mitadizquierda de M y la matriz identidad I en la derecha.
 
Paso 2. Se deja tal y como está la primera fila de M, y debajo del primer término de la diagonal principal, a11, que llamaremos pivote, ponemos ceros. Luego se opera como se indica en el siguiente ejemplo.
 
Ejemplo:
 
Consideremos una matriz 3 ´ 3 arbitraria
 

 
Paso 1.
 

Paso 2....