matrices

Regla de Cramer
1. Objetivo. Estudiar la regla de Cramer que permite resolver sistemas cuadradas de ecuaciones lineales usando determinantes. 2.Requisitos: Matriz de adjuntos (= matriz de cofactores). 3. Teorema (regla de Cramer). Sean A ∈ Matn (F) una matriz invertible, b ∈ Fn . Entonces el sistema deecuaciones lineales Ax = b se puede resolver por la siguiente regla: xj = det(Bj ) , det(A)

donde la matriz Bj se obtiene de la matriz A al sustituir la j-´simacolumna por el vector e b. Demostraci´n. Como A es invertible, el sistema de ecuaciones lineales Ax = b tiene una o soluci´n unica x, y x = A−1 b. Usando queo ´ A−1 = 1 (Cof A,j,i )1≤i,j≤n , det(A)

calculemos el i-´simo componente de x: e 1 xi = (A )i,j bj = det(A) j=1
−1 n n

bj Cof A,j,i .
j=1

Porotro lado, todas las columnas de la matriz Bi , excepto la i-´sima, coinciden con las e columnas correspondientes de la matriz A. Por eso Cof A,j,i = Cof Bi,j,i . Adem´s, bj = (Bi )j,i . De aqu´ a ı 1 xi = det(A)
n

(Bi )j,i Cof Bi ,j,i =
j=1

det(Bi ) . det(A)

4. Ejemplo. Resolver el sistema deecuaciones lineales usando la regla de Cramer. Hacer la comprobaci´n. o 3x1 + 5x2 = 1; −x1 + 2x2 = 7.

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5. Ejemplo. Resolver el sistema deecuaciones lineales usando la regla de Cramer. Hacer la comprobaci´n. o   3x1 + 6x2 + 4x3 = 3; 4x1 + 7x2 + 6x3 = 8;  −2x1 + 3x2 + 3x3 = 1. 6. Ejercicio. Resolvael sistema de ecuaciones lineales usando la regla de Cramer. Haga la comprobaci´n. o   4x1 − x2 + 5x3 = 15; −5x1 + 4x2 + 4x3 = −1;  3x1 − 2x2 + x3 = 7.