Matrices

Prof.: Integrantes:
Pedro Catalan Omaira Rodríguez

Cariaco, junio de 2012

INTRODUCCIÓN

La gran diversidad de necesidades del ser humano, en cada uno de los ámbitos requiere emplear técnicas y métodos matemáticos que den una solución rápida y exacta. Una de las herramientas que ha tenido gran aplicación son las matrices, las cuales nos dan una solución optima a un sistemade ecuaciones lineales previamente obtenidas de un planteamiento del problema. A su vez se hace más versátil y dinámico el emplear para su resolución un software (Derive). Es por ello la importancia en la gran resolución de problemas de diversos tópicos.

MATRIZ

Una matriz es un conjunto ordenado de elementos que están dispuestos en filas y en columnas, intersecándose para relacionar dichoselementos.

Ejemplo
Dada la matriz

es una matriz de tamaño . La entrada es 7.
La matriz

es una matriz de tamaño : un vector fila con 9 entradas.

TIPOS DE MATRICES.

Matriz fila.

Una matriz fila está constituida por una sola fila.

Matriz columna.

La matriz columna tiene una sola columna

Matriz rectangular.

La matriz rectangular tiene distinto número de filas quede columnas, siendo su dimensión mxn.

Matriz cuadrada.

La matriz cuadrada tiene el mismo número de filas que de columnas.
Los elementos de la forma aii constituyen la diagonal principal.
La diagonal secundaria la forman los elementos con i+j = n+1.

Matriz nula.

En una matriz nula todos los elementos son ceros.

Matriz triangular superior.

En una matriz triangular superiorlos elementos situados por debajo de la diagonal principal son ceros.

Matriz triangular inferior.

En una matriz triangular inferior los elementos situados por encima de la diagonal principal son ceros.

Matriz diagonal.

En una matriz diagonal todos los elementos situados por encima y por debajo de la diagonal principal son nulos.

Matriz escalar.

Una matriz escalar es una matrizdiagonal en la que los elementos de la diagonal principal son iguales.

Matriz identidad o unidad.

Una matriz identidad es una matriz diagonal en la que los elementos de la diagonal principal son iguales a 1.

Matriz traspuesta.

Dada una matriz A, se llama matriz traspuesta de A a la matriz que se obtiene cambiando ordenadamente las filas por las columnas

(At)t = A
(A + B)t = At +Bt
(α ·A)t = α· At
(A ·  B)t = Bt · At
Matriz regular.

Una matriz regular es una matriz cuadrada que tiene inversa.
Matriz singular.

Una matriz singular no tiene matriz inversa.
Matriz idempotente.

Una matriz, A, es idempotente si:
A2 = A.
Matriz involutiva.

Una matriz, A, es involutiva si:
A2 = I.
Matriz simétrica.

Una matriz simétrica es una matriz cuadrada queverifica:
A = At.
Matriz Antisimétrica O Hemisimétrica.

Una matriz antisimétrica o hemisimétrica es una matriz cuadrada que verifica:
A = -At.
Matriz ortogonal.

Una matriz es ortogonal si verifica que:
A·At = I.
OPERACIONES CON MATRICES SUMA RESTA Y MULTIPLICACIÓN.
Suma y resta de matrices.

Para poder sumar o restar matrices, éstas deben tener el mismo número de filas y decolumnas. Es decir, si una matriz es de orden 3 x 2 y otra de 3 x 3, no se pueden sumar ni restar. Esto es así ya que, tanto para la suma como para la resta, se suman o se restan los términos que ocupan el mismo lugar en las matrices.
Ejemplo:
Sean las matrices: A = |   | 3 | 1 | 2 |   |
| | 0 | 5 | -3 | |
| | 7 | 0 | 4 | |
 

y B = |   | -1 | 2 | 4 |   |
| | 2 | 5 | 8 | |
| |0 | 1 | -2 | |
Entonces:
A + B = |   | 3 | 1 | 2 |   | + |   | -1 | 2 | 4 |   | = |   | 2 | 3 | 6 |   |
| | 0 | 5 | -3 | | | | 2 | 5 | 8 | | | | 2 | 10 | 2 | |
| | 7 | 0 | 4 | | | | 0 | 1 | -2 | | | | 7 | 1 | 2 | |
 
A.B = |   | 3 | 1 | 2 |   | . |   | -1 | 2 | 4 |   | = |   | 4 | -1 | -2 |   |
| | 0 | 5 | -3 | | | | 2 | 5 | 8 | | | | -2 | 0 | 5 |...