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Tema 1.- MATRICES



MATRICES


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POTENCIAS NATURALES DE MATRICES CUADRADAS




Fundamentos Matemáticos de la Ingeniería 1










Un poco de historia

Lord Cayley es uno de los fundadores de la teoría de las matrices, aunque su amigo Sylvester fue quien acuñó el término matriz (1850), para distinguir las matrices de losdeterminantes, que serán estudiados en el Tema 3. De hecho, la intención era que el término matriz tuviera el significado de “madre de los determinantes”. Tanto Sylvester como Cayley son considerados entre los mejores matemáticos de su tiempo. Sylvester fue el primer profesor del Departamento de Matemáticas en la Universidad John Hopkins, y fundó la prestigiosa revista American Journal of Mathematics.(Sir) Arthur Cayley (1821-1895) nació en Surrey, Inglaterra, y estudió en la Universidad de Cambridge. Ejerció la abogacía y al mismo tiempo escribía aportaciones en matemáticas. Pocos años después de encontrar a su colega Sylvester, otro licenciado y matemático, dejó la abogacía y se dedicó de tiempo completo a las matemáticas.

James Joseph Sylvester (1814-1897) nacióen Londres, de padres judíos. Entró en la Universidad de Cambridge, pero por su religión no pudo obtener un diploma, sino hasta varios años después de haber terminado sus estudios. También ejerció la abogacía y al mismo tiempo hacía investigaciones en el campo de las matemáticas. Él y Cayley tuvieron una larga y fructífera colaboración en la teoría de los invariantes, campo relacionadocon el Álgebra Lineal.
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A continuación veamos un ejemplo de lo que ocupaba a Cayley. Tres sistemas coordenados (x , y), (x’ , y’) y (x’’ , y’’) están conectados mediante las siguientes transformaciones:




La relación entre (x , y) y (x’’ , y’’) se describe con la sustitución:




Esta transformación también puedeescribirse como sigue: si abreviamos los tres cambios de coordenadas mediante las matrices de los coeficientes, tenemos:




Ahora es posible calcular C directamente de A y B, mediante la multiplicación matricial: C = A • B.



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Sistema de m ecuaciones lineales con n incógnitas:










incógnitas:coeficientes:

términos independientes:




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La teoría de matrices ofrece la posibilidad de trabajar cómodamente con modelos de gran dimensión, tanto en número de variables, como de ecuaciones o datos, ya que brinda una notación simple y compacta para designar amplios conjuntos de información. Esto redunda a su vez enuna mayor facilidad a la hora de trabajar con estos conjuntos de datos desde un punto de vista computacional.


La teoría de matrices no sólo debe su importancia a la bondad de sus cualidades operativas, sino que además tiene gran relevancia teórica, ya que una matriz es la representación de determinadas transformaciones vectoriales (aplicaciones lineales)



Fundamentos Matemáticos dela Ingeniería 5










MATRICES

MATRIZ DE ORDEN .-

Toda distribución de elementos dispuestos en m
filas y n columnas










Habitualmente se denotan las matrices con letras mayúsculas ( A, B, C,... ) y con minúsculas los elementos que las constituyen. Dado que los elementos están ordenados en filas y columnas, al elemento que en una matriz ocupa el lugar de lafila i-ésima y la columna j-ésima se le denotará por aij . Es decir, con el primer
subíndice i se indica la fila en la que está el elemento y con el segundo subíndice j ,
la columna.
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Dos matrices del mismo orden y
se dicen iguales, y se escribe si:




Matriz fila:


Matriz columna:






Matriz nula:...